134 Группы ртф лекции весна 2015
ГЛАВА 1. ИНТЕГРАЛЫ.
§1. Определения и основные методы.
§2. Интегрирование рациональных дробей.
§3. Интегрирование иррациональностей и тригонометрических выражений.
§4. Определённый интеграл и его приложения.
§5. Несобственный интеграл.
§6. Кратные интегралы.
ГЛАВА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
§ 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка.
§ 2. Дифференциальные уравнения n-го порядка.
§ 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка.
ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ.
§ 1. Комбинаторика, события, понятие вероятности, примеры.
§ 2. Условная вероятность. Формула Байеса.
§ 3. Схема Бернулли. Теоремы Муавра-Лапласа.
§ 4. Случайные величины. Математическое ожидание, дисперсия.
§ 5.
Неделя 1. Лекция 12.2.2015
Глава 1. Интегралы.
§1. Определения и основные методы.
Первообразная, F+C. Неопределённый интеграл. Свойства (линейность и т.д.).
Табличные интегралы. Основные методы интегрирования.
1. Преобразования
выражений
(подробнее было в практике)
2. Замена переменной.
3. Подведение под
знак dx.
4. Интегрирование
по частям. Доказательство формулы
Примеры
,
Циклические интегралы
§2. Интегрирование рациональных дробей
Интегрирование
рациональных дробей
сведение неправильной к правильной
дроби
Пример.
.
Виды простейших дробей и их интегрирование (в знаменателе многочлен 1 или 2 степени).
Простейшие дроби
(где знаменатель дальше не распадается
на множители), их вычисление:
Неделя 2. Лекция 19.2.2015
Общий случай, когда степень произвольна - разложение на простейшие (метод неопр. коэффициентов)
1) все корни различные
и
2) все корни
но есть кратные
3) не все корни
(есть множители 2 степени
или
)
§3. Интегрирование иррациональностей и тригонометрических выражений
Иррациональности. Замена на корень порядка НОК (r1,...,rk), на чём основано действие этой замены.
Пример
=
Интегрирование тригонометрических выражений.
Универсальная триг. подстановка и её применение.
Замена:
,
,
,
,
.
Пример.
.
Частные случаи, связанные с нечётностью по sin и cos.
1. Нечётная
относительно cos
функция в интеграле.
.
Замена:
,
,
,
.
Пример.
2. Нечётная
относительно sin
функция в интеграле.
Замена:
,
,
,
.
Смысл всех этих
подстановок: в результате получается
корень в чётной степени, и делится или
домножается ещё на корень из dx,
в итоге в любом случае будет чётная
степень корня.
.
3. Суммарная степень
чётна:
.
Замена:
,
,
,
.
Пример:
=
Неделя 3. Лекция 26.2.2015
Интегрирование
выражений типа
,
,
сводящихся к тригонометрическим.
.
(или
).
При этом
,
.
Пример
=
.
Пример - Доказательство
формулы
.
(или
).
При этом
,
.
(или
).
При этом
,
.
§4. Определённый интеграл и его приложения
Определение. Свойства:
1.
,
2.
,
3.
,
4.
,
5. если
то
,