2. Математическая постановка задачи

2.1. Математическая модель трубы

Для указанных в физической модели условий можно принять показатель адиабаты для газа k=1,4, газовая постоянная R=287,13 Дж/K·кг, атмосферное давление p_атм =101325 Па, плотность воздуха ρ=1,225 кг/м³.

Уравнение закона обращенного воздействия для данной модели

(1)

Уравнение неразрывности:

, (2)

Подставив в (1) уравнения (3)

и , (3)

получается дифференциальное уравнение приведенной скорости в произвольном сечении трубы.

, (4)

где dx –элемент длины трубы, на котором коэффициент сопротивления трения постоянен .

Если принять вдоль трубы и проинтегрировать, получим

, (5)

где χ – приведенная длина трубы – характеризует особенности газа и течения, - газодинамическая функция.

Сокращенно уравнение (5) примет вид

(6)

Определение критической приведенной длины трубы

. (7)

Уравнение расхода в газодинамической форме:

, (8)

где - газодинамическая функция, m - постоянный коэффициент рода газа:

(9)

.

Максимальное значение расхода газа

. (10)

Для расчета параметров перед скачком пользуются газодинамическими функциями основных параметров газового потока:

, (11)

(12)

(13)

Расчет скорости и параметров после скачка:

,

(14)

2.2. Методика расчета

1. Расчет параметров на входе:

,

.

2. Параметры после скачка:

.

3. Скорость после скачка:

4. Расчет газодинамических функций:

.

5. Приведенная длина трубы

6. Критическая приведенная длина трубы

7. Расход и максимальный расход:

3. Результаты исследования

3.1. Основные результаты

Основные расчёты сделаны с помощью программы Excel. Оформление расчётов и пример их выполнения представлены в приложении А. На рис. 1 показаны функциональные зависимости безразмерной скорости от приведенной длины трубы.

Рис.2. График зависимости безразмерной скорости от приведенной длины трубы.

3.2. Оценка адекватности и достоверности результатов

Полученные результаты противоречат ожидаемым закономерностям, спрогнозированным во введении в данную работу и дополнительно рассмотренным в физической модели.

Из выше сказанного следует, что полученное решение в полной мере не соответствует теоретическим закономерностям.

3.3. Функциональный анализ полученных результатов

К сказанному выше о результатах исследования можно добавить оценку функционального характера полученных зависимостей.

Приведенная на рис.2 диаграмма наглядно показывает невозможность перехода в изолированной от внешних воздействий цилиндрической трубе из одной области скоростей в другую. При дозвуковой скорости на входе последующее ее увеличение вдоль трубы связано с тем обстоятельством, что потери кинетической энергии, из-за трения, превращаясь в теплоту, повышают температуру потока. В результате происходит непрерывное снижение плотности газа вдоль канала и постоянства расхода в каждом сечении трубы может быть обеспеченно только посредством соответствующего увеличения скорости. В сверхзвуковой области этот эффект неизбежно приводит к торможению потока.