2 Витяг із робочої програми

САМОСТІЙНА РОБОТА

№ з/п	Назва теми	Кількість годин
	І семестр (2 години)
1	Динаміка обертального руху	2
	ІІ семестр (2 години)
2	Основні положення спеціальної теорії відносності (СТВ). Закон взаємозв’язку маси та енергії	2
	Усього - 4 години

3 Зміст самостійних робіт самостійна робота № 1 (2 год.)

ТЕМА: Динаміка обертального руху

МЕТА:  закріпити знання про обертальний рух, розвинути уявлення про абсолютно тверде тіло та процеси, що відбуваються з ним при обертанні; розвивати пізнавальний інтерес, навички творчої роботи.

ПЕРЕЛІК ПОСИЛАНЬ:

1. Бушок Г.Ф.Курс фізики. Кн.1. Фізичні основи механіки. Молекулярна фізика і термодинаміка / Г.Ф. Бушок, Є.Ф. Венгер. – К.: Вища школа, 2002, с. 95-109

2. Кучерук І.М. Загальний курс фізики. У трьох томах. Т. 1. Механіка. Молекулярна фізика і термодинаміка / І.М.Кучерук, І.Т Горбачук, П.П. Луцик. – К.: Техніка, 2006, с. 86-109

ПЛАН

1. Тангенціальне й нормальне прискорення. Радіус кривизни.

2. Вектор кутового зміщення.

3. Кутові швидкість і прискорення.

Зміст теоретичного матеріалу:

Тангенціальне й нормальне прискорення. Радіус кривизни.

Рисунок 1

1. Розглянемо криволінійний плоский рух, в якому швидкість змінюється як за величиною, так і за напрямком. Виявляється, що в цьому випадку зручно використовувати поняття тангенціального та нормального прискорень. Тангенціальним прискоренням називають компоненту повного прискорення , яка паралельна дотичній до траєкторії руху (див. рис. 1). Нормальним прискоренням називають компоненту повного прискорення , яка перпендикулярна дотичній до траєкторії руху (див. рис. 1). Зрозуміло, що з вищесформульованих визначень випливає, що між повним, тангенціальним та нормальним прискореннями є зв’язок

. (1)

Крім цього вектор тангенціального прискорення є перпендикулярним до вектора нормального прискорення (див. рис. 1). Це означає, що модулі цих прискорень пов’язані між собою співвідношенням

. (2)

2. З’ясуємо, як пов’язана швидкість тіла, яке рухається по криволінійній траєкторії, з тангенціальним та нормальним прискореннями.

Введемо одиничний вектор , який пов’язаний з тілом і направлений за дотичною до траєкторії у напрямку руху тіла (див. рис. 1). Зрозуміло, що є змінним вектором, у різних точках траєкторії він буде мати різний напрямок (модуль цього вектора залишається постійним і таким, що дорівнює одиниці). Вектор швидкості тіла також направлений за дотичною до траєкторії (див. рис. 1). Тому його можна подати у вигляді

, (3)

де – модуль вектора швидкості. Підставимо (3) у визначення прискорення (1) і отримаємо

. (4)

Аналізуючи співвідношення (4), бачимо, що перший доданок у правій частині (4) має напрямок, який паралельний , тобто є паралельним дотичній. Це означає, що ця компонента повного прискорення, відповідно до визначення, є тангенціальним прискоренням

. (5)

Рисунок 2

Тепер розглянемо другий доданок у (4). Знайдемо похідну

.

Для цього розглянемо рисунок 2. У точках 1 та 2 напрямки швидкості тіла визначаються векторами та . Побудуємо перпендикуляри до дотичних в точках 1 та 2. Ці перпендикуляри перетнуться в деякій точці і кут між ними буде дорівнювати . Кут між векторами та буде теж дорівнювати . Модуль вектора , як це випливає з рис. 2, дорівнює

.

Тут використали відому формулу, що коли , то . Тоді

.

Зрозуміло, що коли , то точки 1 і 2 будуть наближатись одна до одної і кут буде теж наближатися до нуля. Це означає, що в цьому випадку вектори та будуть збігатися, а вектор буде перпендикулярним до них, а отже, паралельним вектору – одиничному вектору, який перпендикулярний дотичній до траєкторії. Таким чином,

. (6)

Використаємо визначення радіуса кривизни кривої. Згідно з визначенням, радіусом кривизни називають величину, що дорівнює

, (7)

де є довжиною кривої між точками 1 та 2.

Нормальне прискорення

. (8)

Це прискорення часто ще називають доцентровим прискоренням тому, що коли тіло рухається по колу, то це прискорення завжди направлено до центра кола.

Таким чином,

. (9)

Вектор кутового зміщення. Кутові швидкість і прискорення. Зв’язок між кутовими й лінійними величинами

1. Не завжди тіло, рух якого ми вивчаємо, можна вважати матеріальною точкою. Розглянемо наступну модель тіла – абсолютно тверде тіло.

Абсолютно твердим тілом називають тіло, в якому у даних умовах задачі можна знехтувати деформаціями (відстані між довільними двома точками можна вважати постійними).

Рух твердого тіла можна подати як сукупність двох видів руху поступального та обертального.

Поступальним називають такий рух, коли будь-яка пряма, що жорстко пов’язана з тілом, яке рухається, залишається паралельною сама собі. Математично поступальний рух є еквівалентним паралельному перенесенню.

Обертальним називають такий рух, коли усі точки тіла рухаються по колам, центри яких лежать на одній і тій же прямій. Цю пряму називають віссю обертання.

2. Розглянемо детально обертальний рух твердого тіла. Описувати цей рух за допомогою лінійних швидкостей і лінійних прискорень стає незручно, тому що різні точки твердого тіла мають різні швидкості та прискорення. Потрібно ввести величини, які характеризують обертання твердого тіло як цілого.

Виберемо довільну точку твердого тіла (рис.3). Проведемо радіус від центра кола , відносно якого обертається точка до самої точки . Через проміжок часу т. переміститься в положення . Кут характеризує поворот твердого тіла. При цьому довільна пряма, яка проведена в площині, що перпендикулярна до осі обертання (рис. 3), повернеться на такий самий кут (рис. 3). Кут називають кутом повороту.

Рисунок 3

Для того щоб вказати, в якому напрямку відбувається обертання вводять вектор кутового зміщення. Вектором кутового зміщення називають вектор, модуль якого дорівнює куту повороту, а напрямок пов’язаний з обертанням тіла правилом правого гвинта (див. рис. 4). Встановимо правий гвинт уздовж осі обертання, повернемо його за напрямком обертання твердого тіла, поступальний рух гвинта вкаже на напрямок вектора . Вектор повороту в системі СІ вимірюється в радіанах.

Для того щоб характеризувати як швидко змінюється вектор повороту , використовують поняття кутової швидкості. Кутовою швидкістю називають . Вектор кутової швидкості в системі СІ вимірюється в рад/с.

Рисунок 4

Для того щоб характеризувати як швидко змінюється кутова швидкість , використовують поняття кутового прискорення. Кутовим прискоренням називають . Вектор кутового прискорення в системі СІ вимірюється в рад/с².

3. За відомими кутовою швидкістю та кутовим прискоренням можна знайти лінійні швидкості та лінійні прискорення для будь-якої точки твердого тіла.

Розглянемо точку твердого тіла, яка рухається по колу відносно центра кола , який знаходиться на осі обертання (див. рис. 5). За час точка пройде по колу шлях , який відповідає куту повороту . Виходячи з цього, можемо записати

. (10)

Для того щоб вказати напрямок вектора, використаємо векторний добуток. Виходячи з напрямків векторів, які зображені на рисунку, можемо записати

. (11)

Цей вираз можна узагальнити. Неважко впевнитися, що коли визначати положення точки відносно довільної розміщеної на осі обертання точки вектором (див. рис. 5), то можемо записати

.

. Таким чином, можемо записати

. (12)

Рисунок 5

Для нормального прискорення можемо записати . Звідси, з урахуванням напрямків векторів маємо

. (13)

Для тангенціального прискорення можемо записати

.

Звідси, з урахуванням напрямків векторів запишемо

. (14)

4. Виходячи з інформації про вектор кутового прискорення, можна знайти вектор кутової швидкості, а потім і вектор кутового зміщення.

5. Знайдемо кут повороту та його швидкість, коли тіло має постійне за напрямком і модулем кутове прискорення

Використовуючи, що , а також вибираючи початковий час таким, що дорівнює нулю , можемо отримати

, . (15)

Слід також зазначити, що матеріальну точку можна розглядати як частинний випадок абсолютно твердого тіла. Тому отримані результати для абсолютно твердого тіла, можна застосувати і для матеріальної точки, яка рухається по колу.