10 МНОГОПОЛЮСНЫЕ ЦЕПИ

(Сост. Никонов А.В.)

10.1 Двухполюсники

Двухполюсником называется электрическая цепь (или ее часть) любой слож-

ности, имеющая два зажима для подключения ее к источнику энергии или к дру-

гой электрической цепи.

Если в схеме двухполюсника есть источники электрической энергии, он на-

зывается активным.

При отсутствии таких источников двухполюсник – пассивный.

Если двухполюсник содержит только линейные элементы, он является ли-

нейным.

При наличии в схеме двухполюсника хотя бы одного нелинейного элемента он будет нелинейным устройством.

В зависимости от элементов, из которых составлены двухполюсники, РАЗЛИ-

ЧАЮТ: резистивные (состоящие из резисторов R); с одним реактивным элемен-

том (RL- и RС-двухполюсники); реактивные LC-двухполюсники и двухполюсники общего вида (RLC-двухполюсники).

Подробно рассматривают два класса пассивных линейных двухполюсников:

реактивные (LC) и общего вида (RLC). Это связано с тем, что реактивные двух-

полюсники образуют ветви широко применяемых в радиотехнике и связичеты-

рехполюсных цепей (электрических фильтров, амплитудных и фазовых корректо-

ров, и т. д.) и изучение их свойств облегчит понимание процессов, происходящих в этих цепях.

Если к входу двухполюсника приложено напряжение с мгновенным значе-

нием u(t), то через его входные зажимы протекает ток с мгновенным значением

i(t). (Когда входным воздействием является напряжение, реакцией цепи на это воз-

действие будет ток, и наоборот.)

При синусоидальных напряжении и токеиспользуют их символическое ото-

. .

бражение в виде комплексных амплитудU m , I m , или комплексных дейст-

вующих значений.

Если сигнал является несинусоидальным и его спектр занимает опреде-

ленную полосу частот, то в рассмотрение вводят спектральные плотности на-

пряжения U(jw) и тока I(jw).

Заменив оператор jw на оператор p, легко можно перейти в случае необходимо-

сти к операторным изображениям U(p) и I(р).

Единственной характеристикой пассивного двухполюсникаявляется его

входное сопротивление, связывающее напряжение и ток на входных зажимах.

. . .

Для синусоидальных колебаний заданной частоты Z = U / I ;

–при использовании спектральных плотностей Z(jω) =U(jω)/I(jω);

–для изображений в операторной форме Z(p) = U(p)/I(p).

РЕАКТИВНЫЕ ДВУХПОЛЮСНИКИ: ими называются двухполюсники,

состоящие только из реактивных элементов – индуктивностей и емкостей.

Так как активных сопротивлений в этих схемах нет, то входное сопротив-

ление реактивных двухполюсников не содержит активной составляющей и яв-

.

ляется мнимым: Z = ± jX .

Реактивные двухполюсники представляют собой идеализированную -мо дель реальных двухполюсных схем, составленных из катушек индуктивности и конденсаторов. Чем меньше угол потерь в диэлектрикеконденсаторов ивыше добротность катушек индуктивности, тем меньше в них потери энергии и тем

ближе идеальная модель к реальной схеме.

Если на вход реактивного двухполюсника подать гармоническое колебание и менять его частоту, то входное сопротивление двухполюсника на разных час-

тотах будет иметь различные значения.

Зависимость входного сопротивленияZ(jw) от частоты называется ЧАС-

ТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ реактивного двухполюсника.

ОДНОЭЛЕМЕНТНЫЕ РЕАКТИВНЫЕ ДВУХПОЛЮСНИКИсостоят из

одного реактивного элемента – индуктивности или емкости.

Для индуктивности, входное сопротивление записывается в видеZL(jw) =

jwL.

График этой функции представляется прямой линией.

Входная проводимость YL(jw) является функцией, обратной входному сопро-

тивлению: YL(jw) = –j/wL.

Значения частоты w, при которых входное сопротивление (проводимость)

двухполюсника обращается в нуль, называются НУЛЯМИ входного сопротив-

ления (проводимости).

Значения частоты w, при которых входное сопротивление (проводимость)

обращается в бесконечность, называются ПОЛЮСАМИ входного сопротивле-

ния (проводимости).

Нули на графиках ниже обозначают кружочками, полюсы – крестиками.

Уфункции ZL(jw) имеются один нуль на частотеw = 0 и один полюс при w

→∞.

Увходной проводимостиYL(jw) на частоте w = 0 расположен полюс и на бесконечно большой частоте – нуль.

Графики под частотными зависимостями(рисунок 10.1) входного сопротивле-

ния и входной проводимости, называются полюсно-нулевыми диаграммами.

также полюснонулевая диаграмма входного сопротивления

Второй одноэлементный двухполюсник, состоит из емкости, его входное

сопротивление ZC(jw) = 1/(jwC) = –j/wС, а входная проводимость YC(jw) = jwC.

ДВУХЭЛЕМЕНТНЫЕ РЕАКТИВНЫЕ ДВУХПОЛЮСНИКИ. Таких двух-

полюсников два.

ПЕРВЫЙ из них – последовательный колебательный контур, и представля-

ет собой последовательное соединение емкости и индуктивности.

При последовательном соединении элементов их сопротивления суммируются,

поэтому входное сопротивление двухполюсника будет:

двухполюсника. Здесь же приведена полюснонулевая диаграмма входного сопро-

тивления.

Графики проводимостей YL(jw), YC(jw) и Y(jw, и полюсно-нулевая диаграмма входной проводимости изображены на рисунке 10.2,б.

На частоте w1 реактивные проводимости компенсируют друг друга, и про-

водимость контура обращается в нуль. Это явление называется резонансом токов.

Частота w1 является нулем проводимости Y(jw) и называется частотой ре-

зонанса токов:

w1 = 1 / LC .

Входное сопротивление параллельного контура является обратной функцией проводимости (рисунок 10.2, в). В диапазоне частот от нуля дo w1 входное сопро-

тивление имеет индуктивный характер, а

после резонансной частоты – емкостной.

На рисунке показано расположение нулей и полюсов входного сопротивления параллельного контура. Частота резонанса токов w1 является полюсом входного

сопротивления, так как на ней сопротивление стремится к бесконечно большому

значению.

Преобразуем выражение (3):

10.2 Трехэлементные реактивные двухполюсники

Из трех элементов можно составить четыре различные схемы.

Проанализируем одну схему, рассматривая ее как последовательное соедине-

ние двухполюсников: индуктивности L2 и параллельного колебательного кон-

тура с элементами L1 и C1 (рисунок 10.3б).

Входное сопротивление двухполюсника, представленного последовательным

соединением индуктивности L2 и параллельного контура, запишется в виде суммы

их сопротивлений:

ного контура ZКОНТ (jw).

1

в)

Рисунок 10.3 – Трёхэлементный двухполюсник

На этом же рисункеизображена частотная характеристика входного со-

противления двухполюсника Z(jw) и его полюсно-нулевая диаграмма.

На рисунке 10.3в приведен график частотной зависимостии полюсно-

нулевая диаграмма входной проводимости данного трехэлементного двухполюс-

ника.

Частоту резонанса напряжений w2 можно найти из условия равенства нулю на этой частоте входного сопротивления двухполюсника Z(jw), т. е. из условия:

Отсюда:

или:

w2 = ( L1 + L2 ) /( C1 L1 L2 ) .

Преобразуем выражение для Z(jw). Вынесем за скобки в правой части(5)

множитель jwL2.

С учетом (6) окончательно имеем:

w 2 - w 2

Z ( jw ) = jwL2 2 . (7)

w12 - w 2

Из (7) видно, что при w = 0 входное сопротивление обращается в нуль, т. е.

имеет место нуль функции Z(jw).

При w = w1 входное сопротивление обращается в бесконечность, наступает

резонанс токов. Эта частота соответствует полюсу функции Z(jw).

При w = w2 входное сопротивление обращается в нуль, наступает резонанс напряжений. Частота w2 является нулем функции Z(jw).

СВОЙСТВА РЕАКТИВНЫХ ДВУХПОЛЮСНИКОВ. Анализируя приведен-

ные выше схемы, можно выделить ряд общих для них свойств, которые оказы-

ваются присущими всем реактивным двухполюсникам.

1 Количество резонансов в двухполюснике всегда на единицу меньше количе-

ства его элементов.

2 Резонансы напряжений и токов чередуются. Это же относится к нулям и

полюсам входного сопротивления. Например, если на частоте w = 0 располагается

нуль, то следующим будет полюс, затем снова нуль и т. д.

3 Входное сопротивление реактивного двухполюсника возрастает с ростом частоты. Иными словами, производная сопротивления по частоте положительная.

4 Зная сопротивление двухполюсника на нулевой частоте(постоянный ток)

и используя свойство № 2, легко определить характер первого резонанса в двух-

полюснике. Так, если на нулевой частоте Z(jw) = 0, то в начале координат распола-

гается нуль. Он не относится ни к какому резонансу, так как на постоянном токе ре-

зонанса не происходит.

За нулем следует полюс, при котором сопротивление двухполюсника обраща-

ется в бесконечность, что характерно для резонанса токов. Таким образом, пер-

вым наступает резонанс токов.

Если же на нулевой частоте Z(jw) стремится к бесконечности, то в начале координат располагается полюс, а затем по свойству № 2 располагается нуль, что

свидетельствует о наличии резонанса напряжений.

Таким образом, если сопротивление двухполюсника на постоянном токе равно нулю, первым наступает резонанс токов; если сопротивление стремится к бесконеч-

ности – резонанс напряжений.

5 В зависимости от значения сопротивления на частоте w = 0 множитель jw записывается либо в числителе, либо в знаменателе выражения для Z(jw).

Чтобы получить на частотеw = 0 нулевое значение входного сопротивле-

ния, множитель jw записывается в числителе.

Для получения на этой частотебесконечно большого значенияZ(jw) мно-

житель jw следует записать в знаменателе.

6 В числителе выражения Z(jw) стоят скобки с частотами резонансов на-

пряжений, которые являются нулями входного сопротивления.

Когда текущая частота равна частоте резонанса напряжений, Z(jw) обращается в нуль.