7 ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ СВЯЗЬ С ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ

ВЦЕПЯХ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ

7.1Передаточная функция и ее связь с дифференциальным уравнением, с

импульсной и частотными характеристиками

На практике встречается широкий класс задач, когда учёт нелинейности электронного элемента не является принципиально необходимым.

Нелинейный элемент может быть использован в качестве линейного, если входной сигнал подать на вход устройства так, чтобы размах сигнала не выхо-

дил за пределы практически линейного участка, рисунок 7.1.

Рисунок 7.1 – Подача сигнала на линейный участок проходной характеристики

устройства

Из рисунка 7.1 видно, что несмотря на сохранившуюся нелинейность харак-

теристики устройства, переменная составляющая выходного напряжения теперь

линейно связана со входным сигналом:

В целом, для любого нелинейного элемента с характеристикой «вход-выход» y = F(x), для малых приращений относительно некоторого начального значения

функции y0 = F(x0), связь «вход Û выход» может быть заменена линейной (рису-

Рисунок 7.2– Замена нелинейной зависимости y = F(x) линейной для малых приращений Dy = kDx относительно исходного значения y0 , x0

Хотя уравнение (2) выглядит как линейное, оно называется линеаризован-

ным, так как коэффициент k не является постоянной величиной, а зависит от начального значения y0 функции k = f (y0 ).

Замена нелинейной связи y = F(x) линейной для приращений Dy = kDx от-

носительно некоторого исходного значения функции y0 = F(x0) называется ли-

неаризацией.

Реальные сигналы, действующие в электрических цепях, как правило, не являются гармоническими, тем не менее, гармоническое воздействие широко

используется как удобный тестовый сигнал.

Гармонический сигнал является единственнымфизически реализуемым сигналом, который при прохождении через линейную цепьне меняет своей формы: меняется лишь амплитуда и появляется фазовый сдвиг, рисунок 7.3.

Линейная

цепь

Рисунок 7.3 – Реакция цепи на гармоническое воздействие

СОХРАНЕНИЕ ФОРМЫ ОБЛЕГЧАЕТ АНАЛИЗ, то есть – определение реакции, сводя его к определению амплитуды и фазы выходного сигнала.

С другой стороны, определяя реакцию цепи на гармонические сигналы раз-

ных частот (от низких до высоких), можно определить степень инерционности

(быстродействие) цепи, так как максимальная скорость изменения гармониче-

ского сигнала во времени пропорциональна частоте:

При частотном анализе широко используется СИМВОЛИЧЕСКИЙ

МЕТОД (метод комплексных амплитуд), при котором реальный гармонический

сигнал x(t) = Хmsinwt заменяется, в общем виде, символическим (физически не существующим) комплексным экспоненциальным воздействием(что в данном частном случае для функции sin справедливо при wt = p/2):

Такая замена возможна ТОЛЬКО ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ ЦЕПИ, в которой спра-

ведлив принцип суперпозиции и проводится с целью замены дифференциального

уравнения цепи алгебраическим.

Действительно, дифференцирование и интегрирование выражения (5) по вре-

мени приводит к следующим результатам:

то есть к умножению или делению исходной функции на jw.

Реакция цепи на символический сигнал ищется в виде:

x&

ФУНКЦИЯ.

Представляя в (7) K& ( jw ) как комплексное число в показательной форме (мо-

дуль–фаза):

где j(w) – аргумент K& ( jw ) , К(w) – модуль K& ( jw ) ,

получим:

y& = X me jwt K ( w )e jj( w ) = X m K ( w )e jwt e jj( w ) = Ym e j(wt +j ) =

(9)

= Ym [cos(wt + j )+ j sin(wt + j )].

Таким образом, получили уравнение, аналогичное по форме записи выраже-

И искомая реакция цепи с максимальны значением Ym по (9) (на основании (5),

То есть, ОПРЕДЕЛИВ K& ( jw ) , ЕГО МОДУЛЬ К(w), АРГУМЕНТ j(w),

ЗАДАЧА ОПРЕДЕЛЕНИЯ РЕАКЦИИ ЦЕПИ НА ВХОДНОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ РЕШАЕТСЯ ОДНОЗНАЧНО.

Оператор K& ( jw ) называется АМПЛИТУДНО-ФАЗОВОЙ ЧАСТОТНОЙ

ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ (АЧХ), а

j( w ) = arg K& ( jw ) – фазовой частотной характеристикой (ФЧХ).

Параметры К(w) и j(w) могут быть определены экспериментальнодля сколько угодно сложной цепи, что широко применяется на практике.

Пример алгоритма частотного анализа. Пусть имеется цепь, связь «вход-

выход» которой описывается дифференциальным уравнением:

подстановка которых в дифференциальное уравнение приводит к равенству:

j( w ) = -arctgwt .

Иокончательно:

На основе (14) можно построить графики АЧХ и ФЧХ (рисунок 7.4), по ко-

торым определяется реакция цепи на гармоническое воздействие любой часто-

ты wi.

Рисунок 7.4 – Графики АЧХ и ФЧХ для уравнения (11)

АЧХ позволяет сделать вывод о том, что данная цепь плохо пропускает высо-

кочастотные сигналы, то есть сложный сигнал, проходя через такую цепь, потеря-

ет высокочастотные составляющие.

На рисунке 7.5 показано изменение формы сигналапри прохождении через цепь с АЧХ по рисунку 7.4.