Лекции / ЛЕКЦИЯ2_09

ЛЕКЦИЯ 2. ЗАКОНЫ КИРХГОФА. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СХЕМ. ПРИНЦИП НАЛОЖЕНИЯ. МЕТОД КОНТУРНЫХ ТОКОВ. МЕТОД УЗЛОВЫХ НАПРЯЖЕНИЙ

Законы Кирхгофа являются основными в теории цепей. ПЕРВЫЙ ЗА-

КОН – закон токов Кирхгофа (ЗТК) формулируется по отношению к узлам

электрической цепи и отражает тот факт, что в узлах не могут накап-

ливаться заряды. Он гласит: алгебраическая сумма токов ветвей, сходя-

щихся в любом узле электрической цепи, равна нулю. Формально это запи-

где m – число ветвей, сходящихся в узле.

В этом уравнении токи, одинаково ориентированные относительно

узла, имеют одинаковые знаки. Например, знаки выходящих токов мож-

но считать положительными, а входящих – отрицательными.

Этот закон следует из принципа непрерывности полного тока(для маг-

нитных цепей – из принципа непрерывности магнитного потока [1]).

Число независимых уравнений, составляемых по ЗТК, равно числу не-

зависимых узлов электрической цепи.

ВТОРОЙ ЗАКОН – закон напряжений Кирхгофа(ЗНК) формулиру-

ется по отношению к контурами гласит: алгебраическая сумма напря-

жении ветвей в любом контуре цепи равна нулю.

где n – число ветвей, входящих в контур.

В этом уравнении напряжения, совпадающие с направлением обхода

контура, записываются со знаком «+», а не совпадающие – со знаком «–».

Второй закон Кирхгофа для магнитных цепей следует из закона полного

тока.

Иллюстрация законов Кирхгофа

Тогда для последовательного соединения резистивных элементов R1, R2, ..., Rn будем иметь:

Для последовательного соединения индуктивных элементов(рису-

нок 2.2):

Для последовательного соединения емкостных элементов:

ных, индуктивных или емкостных элементов может быть заменена -од ним эквивалентным резистивным, индуктивным или емкостным эле-

ментом. Причем, при нахождении эквивалентного сопротивления или экви-

валентной индуктивности необходимо суммировать сопротивления и индук-

тивности отдельных резистивных и индуктивных элементов, а для нахожде-

ния эквивалентной обратной емкости– суммировать величины, обрат-

ные емкости отдельных емкостных элементов. При n = 2:

С = С1C2/(С1 + С2). ()

При последовательном соединении независимых источников - на пряжения, они заменяются одним эквивалентным источником напряже-

ния с задающим напряжениемuГ, равным алгебраической сумме задаю-

щих напряжений отдельных источников. Причем со знаком «+» берутся

задающие напряжения совпадающие с задающим напряжением эквива-

лентного источника, а со знаком «–» – несовпадающие (рисунок 2.3).

Рисунок 2.3 – Последовательное соединение источников напряжения

Параллельное соединение элементов. При параллельном соединении элементов согласно ЗНК к ним будет приложено одно и то же напряжение

(рисунок 2.4).

Рисунок 2.4 – Параллельное соединение пассивных элементов

Согласно ЗТК для тока каждой из схем, изображенных на рисунке 2.4,

На основании этого уравнениядля параллельного соединения рези-

стивных элементов получаем:

Для параллельного соединения емкостных элементов:

Следовательно, цепь из n параллельно соединенных резистивных,

индуктивных или емкостных элементов можно заменитьодним эквива-

лентным резистивным, индуктивным или емкостным элементом.

Таким образом, при параллельном соединении резистивных, емкост-

ных и индуктивных элементов для нахождения эквивалентныхпроводимо-

сти и емкости цепи, проводимости или емкости отдельных элементов

складываются. Эквивалентная обратная индуктивность цепи находится

Параллельно соединенные независимые ИСТОЧНИКИ ТОКАмож-

но заменить одним эквивалентным источником тока с задающим током,

равным алгебраической сумме задающих токов отдельных источников.

Причем со знаком «+» берутся задающие токи, совпадающие по направ-

лению с задающим током эквивалентного источника, а со знаком «–» – не

совпадающие (рисунок 2.5).

Рисунок 2.5 – Параллельное соединение источников тока При расчете электрических цепей часто возникает необходимость пре-

образования источника напряжения с параметрамиuГ и RГ, в эквива-

лентный источник тока с параметрамиiГ и GГ, или наоборот – преобразо-

вание источника тока в эквивалентный источник напряжения. Эти преобра-

Пример преобразования “звезда—треугольник”. Кроме последовательного и па-

раллельного соединений элементов весьма распространенными являются соединения элементов треугольником и звездой (рисунок 2.6).

Рисунок 2.6 - Соединения треугольником и звездой Существуют формулы преобразования соединения треугольника в звезду:

; ;

Аналогично существуют формулы преобразования“звезда—треугольник” индуктивных и емкостных элементов [1, с. 23-24].

2.2 Принцип наложения

Принцип наложения (суперпозиции) имеет важнейшее значение в тео-

рии ЛИНЕЙНЫХ электрических цепей. Подавляющее число методов анали-

за линейных цепей базируется на этом принципе. Если рассматривать напря-

жения и токи источников как задающие воздействия, а напряжение и токи в отдельных ветвях цепи как реакцию(отклик) цепи на эти воздействия, то

принцип наложения можно сформулировать следующим образом: реак-

ция линейной цепи на сумму воздействий равна сумме реакций от каждо-

го воздействия в отдельности.

Результирующий ток i3 найдем как алгебраическую сумму частных токов: i3 = i3' + i3'' . При определении результирующих токов знак «+» берут у частных токов, совпадающих с выбранным положительным направлением результирующего тока, и знак «–» – у несовпадающих.

Как следует из рассмотренного примера, при составлении частичных

электрических схем исключаемые идеальные источники напряжения за-

корачиваются. В случае, если в цепи действуют источники напряжения с внутренними сопротивлениями RГ, при их исключении они заменяются

своими внутренними сопротивлениями RГ.

При наличии идеальных источников тока соответствующие ветви исключаемых источников размыкаются, а при наличии реальных источни-

ков они заменяются своими внутренними проводимостями GГ.

Если в линейной цепи приложено напряжение сложной формы, при-

менение принципа наложения позволяет разложитьэто воздействие на сумму простейших и найти реакцию цепи на каждое из них в отдельности

с последующим наложением полученных результатов.

2.3 Метод контурных токов

При определении токов и напряжений в отдельных ветвях цепи сnВ вет-

вями по законам Кирхгофа в общем случае необходимо решить систему из nВ

уравнений. Для снижения числа решаемых уравнений и упрощения рас-

четов используют метод контурных токов, который позволяет снизить число решаемых уравнений до числа независимых контуров. В его осно-

ве лежит введение в каждый контур условного контурного токаi , на-

К

правление которого обычно выбирают совпадающим с направлением обхода контура. При этом для контурного тока будут справедливы ЗТК и

ЗНК. В частности, для каждого из выделенных контуров можно соста-

вить уравнения по ЗНК.

Рассмотрим резистивную цепь, схема которой изображена на рисунке

2.8.

Рисунок 2.8 – Иллюстрация метода контурных токов

Для контурных токов iк1 и iк2 этой схемы можно записать уравнения по ЗНК в виде:

Перенесем uГ1 и uГ2 в правую часть системы и получим так называемую

каноническую форму записи уравнений по методу контурных токов:

где R11 = R1 +R3; R22 = R2 + R3 называют собственными или контурными сопротивлениями 1-го и 2-го контуров; R12 = R21 = R3 – взаимным сопро-

тивлением 1-го и 2-го контуров; uК1 = uГ1 и uК2 = uГ2 контурными задаю-

щими напряжениями.

Истинные токи в ветвях находятся как алгебраическая сумма ко-н

турных токов: i1 = iК1, i2 = iК2, i3 = iК1 + iК2.

Решая систему уравнений, находят величины контурных токов:

где DR – определитель системы:

Определитель Dk находится путем замены k-го столбца правой ча-

стью приведённой выше системы. Например, для D1 имеем:

Иллюстрация метода контурных токов

Полученный результат отражает рассмотренный ранее принцип наложе-

ния.

Для линейных электрических цепей важную роль играет принцип

взаимности (теорема обратимости). Он гласит: если источник напряже-

ния, помещенный в какую-либо ветвьl пассивной линейной электриче-

ской цепи, вызывает в другой ветвиk ток определенной величины, то этот же источник, будучи помещенный в ветвьk, вызывает в ветвиl

ток той же величины. Справедливость этого принципа следует непосред-

ственно из уравнений iКК с учетом того, что DlК = DКl.

3.1 Метод узловых напряжений

Метод узловых напряжений широкоприменяется для расчета элек-

трических цепей, в частности в различных программах автоматизирован-

ного проектирования электронных схем. Метод узловых напряжений ба-

зируется на ЗТК и законе Ома.

Он позволяет снизить число решаемых уравнений до велич,ины равной nУ – 1. В основе этого метода лежит расчет напряженийв (nУ –

1) узлов цепи относительно базисного узла.