Лекции / ЛЕКЦИЯ9_09
.pdf
9 ДИСКРЕТНЫЙ СПЕКТР. АПЕРИОДИЧЕСКИЕ СИГНАЛЫ И ИХ
СПЕКТРЫ. |
НЕЛИНЕЙНЫЕ |
ЦЕПИ |
И |
АППРОКС |
|
ХАРАКТЕРИСТИК |
НЕЛИНЕЙНЫХ |
|
ЭЛЕМЕНТОВ. ВОЗДЕЙСТВИЕ |
||
ГАРМОНИЧЕСКОГО |
СИГНАЛА, |
СУММЫ |
ГАРМОНИЧЕСКИХ |
||
КОЛЕБАНИЙ НА ЦЕПЬ С НЕЛИНЕЙНЫМ ЭЛЕМЕНТОМ |
|
||||
Электрические сигналы – это изменение во времени параметров электро-
магнитного поля. Обычно рассматриваются сигналы в виде изменения во вре-
мени электрического напряжения (тока).
АНАЛИТИЧЕСКИ сигналы описывают двумя способами: представлением
во временной области (функция времени) – S(t) или разложением в виде суммы элементарных колебаний (СПЕКТРА).
Важнейшей характеристикой сигнала во временном представлении является
его периодичность. Периодом сигнала Т является отрезок времени, для которо-
го справедливо равенство: |
|
|||
S(t + nT) = S(t), |
n = 0, 1, 2, ... |
() |
||
На рисунке 9.1 изображен периодический сигнал пилообразного типа, описы- |
||||
ваемый выражением: |
|
|
||
S( t + nT ) = |
2Em |
t . |
() |
|
|
|
|||
T
На этом рисунке также изображен гармонический сигнал с начальной фазой j,
описываемый выражением:
æ 2p
S( t + nT ) = U m sinç
è T
ö
t - j ÷ . ()
ø
Em 
-T/2 
T/2
t
-Em
Временное представление гармони-
Временное представление
ческого сигнала с начальной фазой j периодического сигнала пилообразной формы
Рисунок 9.1 – Временное представление электрических сигналов
СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ сигнала в виде суммы элементар-
ных колебаний может быть приведено с помощью широкого класса полиномов и
функций: Лежандра, Чебышева, Лагерра, Эрмита, Хаара, Радемахера, Уолша и
др.
Однако ДЛЯ СПЕКТРАЛЬНОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ наибольшее практическоеприменение нашло разложение в виде суммы гармонических составляющих (гармоник) – ряда Фурье:
¥ |
|
¥ |
|||
S( t ) = |
a0 |
+ å(an cos nw1t + bn sin nw1t )= |
a0 |
+ å An cos(nw1t - jn ), (А) |
|
|
|
||||
|
2 n= |
1 |
2 n=1 |
||
где w1 = 2p – круговая частота первой гармоники.
T
Коэффициенты an, bn вычисляются по формулам:
a0 |
|
|
1 |
T 2 |
|
|
|
|
2 |
T 2 |
|
|||
= |
|
ò |
|
S( t )dt , |
|
an |
= |
ò |
S( t )cos nw1tdt , |
() |
||||
2 |
T |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
T |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
-T 2 |
|
|
|
|
|
-T 2 |
|
||
|
T |
T 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
b |
= |
2 |
|
|
S( t ) sin nw |
1 |
tdt . |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
n |
|
|
|
|
-T 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Амплитуда An и фаза jn n-гармоники выражаются через an и bn:
A = |
a2 |
+ b2 |
, |
j |
n |
= arctg |
bn |
. |
() |
|
|||||||||
n |
n |
n |
|
|
|
an |
|
||
СОВОКУПНОСТЬ КОЭФФИЦИЕНТОВ An РЯДА ФУРЬЕ НАЗЫВАЕТСЯ ЧАСТОТНЫМ СПЕКТРОМ периодического сигнала.
Как следует из (А), частотный спектр периодического сигнала носит дис-
кретный характер, так как состоит из отдельных«линий» высотой An, соответст-
вующих дискретным частотам 0, w1, w2 (где w2 = 2w1), w3 = 3w1 и т. д. (рисунок 9.2).
Рисунок 9.2 – Дискретный спектр периодического сигнала
Хотя ряд Фурье и содержит бесконечное число гармоник, амплитуды этих гармоник у большинства реальных сигналовубывают с увеличением номера гар-
моник n.
Физически это означает, что влияние высших гармоник на общую энергию сигнала и его форму может быть незначительным, что позволяет при анализе искусственно урезать спектр, ограничившись наиболее влиятельными гармони-
ками с меньшими номерами.
Например, частотный спектр пилообразного напряжения, изображенного на
рисунке А, имеет вид:
|
2E |
æ |
1 |
|
1 |
|
1 |
ö |
|
|
S( t ) = |
|
m |
ç sinw1t - |
|
sin 2w1t + |
|
sin 3w1t - |
|
sin 4w1t + ...÷ |
. () |
p |
|
2 |
3 |
4 |
||||||
|
è |
|
|
ø |
|
|||||
Как видно, амплитуды гармоник убывают с частотой по закону 1/n.
При «удержании» в спектре, например, пяти первых гармоник, форма сиг-
нала принимает вид, изображенный на рисунке 9.3 (сплошная линия), для многих
случаев такая погрешность представления сигнала может оказаться приемл-е
мой.
Рисунок 9.3 – Форма пилообразного сигнала при удержании пяти первых гар-
моник спектра
Но чем больше скорость изменения сигнала во времени, тем медленнее сни-
жаются амплитуды гармоник по мере увеличения n.
Для периодической (с периодом Т) последовательности прямоугольных
импульсов с амплитудой Е и длительностью t, амплитуда n-ой гармоники оп-
ределяется по соотношению:
A |
= |
|
2E |
|
sin |
n2pt |
|
, |
|
|
() |
|||
|
|
|
||||||||||||
|
n |
|
|
p n |
|
|
|
2T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
и при |
t |
® 0 , когда sinx® х , получим: |
|
|||||||||||
|
|
|||||||||||||
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
= |
2E |
|
× |
npt |
= 2E |
t |
. |
() |
|||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
n |
|
|
p n |
|
|
T |
|
T |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
То есть, |
амплитуды всех гармоник (от 0 до ¥) становятся одинаковыми, |
|||||||||||||
спектр становится равномерным. |
|
|||||||||||||
Увеличение ширины спектра при увеличении скорости изменения сигнала является основным препятствием для увеличения скорости передачи инф-ор мации по каналам связи.
Как известно из электротехники, амплитуду выходного гармонического ко-
лебания цепи можно определить по амплитудно-частотной характеристике це-
пи (АЧХ), которая может быть определенакак аналитически, так и (что очень
важно для сложных цепей) экспериментально.
АЧХ – это зависимость отношения амплитуд выходного и входного коле-
баний (К) от частоты, которая может, например, иметь вид, представленный на ри-
сунке 9.4.
Рисунок 9.4 – Возможный вид АЧХ цепи
В пределах полосы частот от wН до wВ АЧХ имеет равномерный характер.
Это значит, что все гармоники сложного сигнала, «умещающегося» на этом
частотном отрезке, пройдут через цепь практически с одинаковым усилением
(или ослаблением, если К < 1), что приведет лишь к изменению масштаба сигна-
ла, а форма его останется неизменной.
Если же полоса равномерной передачи цепи много меньше ширины спектра входного сигнала, то сигнал пройдет через такую цепьс большими искажениями,
называемыми частотными.
Так, если через цепь, имеющую АЧХ по рисунку9.4, пропустить периоди-
ческую последовательность прямоугольных импульсовS1(t), то выходной сиг-
нал S2(t) будет значительно отличаться по форме от входного (рисунок 9.5).
Рисунок 9.5 – Искажения сигнала, прошедшего через цепь с «узкой» полосой
пропускания
Таким образом, введение понятия частотного спектра сигнала позволяет со-
поставить свойства канала связи(его широкополосность) с шириной спектра сигнала.
Например, телевизионный сигнал, ширина спектра которого превышает
10×106 Гц, невозможно передать по телефонной проводной паре, полоса пропус-
кания которой составляет всего несколько десятков килогерц.
Для непериодического сигнала можно при анализе полагать Т ® ¥.
Это означает, что как значение частоты первой гармоники, так и интервал между соседними гармониками будет стремиться к нулю, т. е.
спектр становится сплошным, а амплитуды гармоник (коэффициенты ряда Фу-
рье) станут бесконечно малыми.
Предельный переход от дискретного ряда Фурье к сигналус Т ® ¥ описы-
вается интегралом Фурье:
|
1 |
+¥ |
|
|||
S( t ) = |
|
ò S( w )e jwt dw , |
() |
|||
2p |
||||||
|
-¥ |
|
||||
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
+¥ |
|
||
где S( w ) = |
|
ò S( t )e - jwt dt – СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ, физически |
||||
2p |
|
|||||
|
|
-¥ |
|
|||
|
|
|
|
|||
означающая распределение мощности сигнала по диапазону частот.
На рисунке 9.6 для примера приведена спектральная плотность одиночного импульса с амплитудой А и длительностью tи.
S
А
tи |
t |
Рисунок 9.6 – Спектральная плотность S(w) одиночного импульса
9.1 Нелинейные цепи и аппроксимация характеристик нелинейных эле-
ментов
Все цепи, рассматриваемые до сих пор, относились к классу линейных сис-
тем. Элементы таких цепей R, L и С являются постоянными и не зависят от воздей-
ствия. Линейные цепи описываются линейными дифференциальными уравне-
ниями с постоянными коэффициентами.
Если элементы электрической цепиR, L и С зависят от воздействия, то
цепь описывается нелинейнымдифференциальным уравнением иявляется не-
линейной.
Например, для колебательного RLC-контура, сопротивление которого зависит
от напряжения uС, получим:
d 2 u |
R(u |
) |
|
du |
1 |
|
|
|
||
C |
+ |
C |
|
× |
C |
+ |
|
u |
= 0 . |
() |
|
L |
|
|
|
||||||
dt 2 |
|
|
dt |
LC C |
|
|
||||
Такой колебательный контур является нелинейным. Элемент электрической цепи, параметры которого зависят от воздействия, называется нелинейным.
Различают резистивные и реактивные нелинейные элементы.
Для нелинейного резистивного элемента характерна нелинейная связь между током i и напряжением u, т. е, нелинейная характеристика i = F(u).
Наиболее распространенными резистивными нелинейными элементами явля-
ются ламповые и полупроводниковые приборы, используемые для усиления и пре-
образования сигналов. На рисунке 9.7 приведена ВАХ типового нелинейного эле-
мента (полупроводникового диода).
Для резистивных нелинейных элементов важнымпараметром является их сопротивление, которое в отличие от линейных резисторов не является посто-
янным, а зависит от того, в какой точке ВАХ оно определяется.
i
I0
0
U0 u
Рисунок 9.7 – ВАХ нелинейного элемента
По ВАХ нелинейного элемента можно определить сопротивление как
()
где U0 – приложенное к нелинейному элементу постоянное напряжение;
I0 = F(U0) – протекающий по цепи постоянный ток.
Это сопротивление постоянному току(или статическое). Оно зависит от
приложенного напряжения.
Пусть на нелинейный элемент действует напряжение u = U0 + Umcoswt, при-
чем амплитуда Um, переменной составляющей достаточно мала (рисунок 9.8), так что тот небольшой участок ВАХ в пределах которого действует переменное на-
пряжение, можно считать линейным. Тогда ток, протекающий через нелинейный элемент, повторит по форме напряжение: i = I0 + Imcoswt.
Определим сопротивление RДИФ как отношение амплитуды переменного напряжения Um к амплитуде переменного токаIm (на графике это отношение
приращения напряжения Du к приращению тока Di):
()
i
|
Du |
|
|
I0 |
Im |
Di |
|
t |
|||
0 |
|
||
|
|
U0 u 
u
Um
t
Рисунок 9.8 – Воздействие малого гармонического сигнала на нелинейный элемент
Это сопротивление называется дифференциальным(динамическим) и
представляет собой сопротивление нелинейного элемента переменному току ма-
лой амплитуды.
Обычно переходят к пределу этих приращений и определяютдифференци-
альное сопротивление в виде RДИФ = du/di.
Приборы, имеющие падающие участки на ВАХ, называются приборами с отри-
цательным сопротивлением, так как на этих участках производныеdi/du < 0 и
du/di < 0.
Одной из важнейших особенностей нелинейных цепей является то, что в них
не выполняется принцип наложения.