РГР / Онлайн решение на задачу 2

Математическая модель транспортной задачи:

F = ∑∑c_ijx_ij, (1)

при условиях:

∑x_ij = a_i, i = 1,2,…, m, (2)

∑x_ij = b_j, j = 1,2,…, n, (3)

Стоимость доставки единицы груза из каждого пункта отправления в соответствующие пункты назначения задана матрицей тарифов

	1	2	3	4	Запасы
1	9	5	3	10	90
2	4	6	8	8	110
Потребности	50	70	20	60

Проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи.

∑a = 90 + 110 = 200

∑b = 50 + 70 + 20 + 60 = 200

Занесем исходные данные в распределительную таблицу.

	1	2	3	4	Запасы
1	9	5	3	10	90
2	4	6	8	8	110
Потребности	50	70	20	60

Этап I. Поиск первого опорного плана.

1. Используя метод северо-западного угла, построим первый опорный план транспортной задачи.

	1	2	3	4	Запасы
1	9[50]	5[40]	3	10	90
2	4	6[30]	8[20]	8[60]	110
Потребности	50	70	20	60

В результате получен первый опорный план, который является допустимым, так как все грузы из баз вывезены, потребность магазинов удовлетворена, а план соответствует системе ограничений транспортной задачи.

2. Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 5, а должно быть m + n - 1 = 5. Следовательно, опорный план является невырожденным.

Значение целевой функции для этого опорного плана равно:

F(x) = 9*50 + 5*40 + 6*30 + 8*20 + 8*60 = 1470

Этап II. Улучшение опорного плана.

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы u_i, v_i. по занятым клеткам таблицы, в которых u_i + v_i = c_ij, полагая, что u₁ = 0.

	v1=9	v2=5	v3=7	v4=7
u1=0	9[50]	5[40]	3	10
u2=1	4	6[30]	8[20]	8[60]

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых u_i + v_i > c_ij

Выбираем максимальную оценку свободной клетки (2;1): 4

Для этого в перспективную клетку (2;1) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

	1	2	3	4	Запасы
1	9[50][-]	5[40][+]	3	10	90
2	4[+]	6[30][-]	8[20]	8[60]	110
Потребности	50	70	20	60

Цикл приведен в таблице (2,1; 2,2; 1,2; 1,1; ).

Из грузов х_ij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (2, 2) = 30. Прибавляем 30 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 30 из Х_ij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

	1	2	3	4	Запасы
1	9[20]	5[70]	3	10	90
2	4[30]	6	8[20]	8[60]	110
Потребности	50	70	20	60

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы u_i, v_i. по занятым клеткам таблицы, в которых u_i + v_i = c_ij, полагая, что u₁ = 0.

	v1=9	v2=5	v3=13	v4=13
u1=0	9[20]	5[70]	3	10
u2=-5	4[30]	6	8[20]	8[60]

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых u_i + v_i > c_ij

Выбираем максимальную оценку свободной клетки (1;3): 3

Для этого в перспективную клетку (1;3) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

	1	2	3	4	Запасы
1	9[20][-]	5[70]	3[+]	10	90
2	4[30][+]	6	8[20][-]	8[60]	110
Потребности	50	70	20	60

Цикл приведен в таблице (1,3; 1,1; 2,1; 2,3; ).

Из грузов х_ij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (2, 3) = 20. Прибавляем 20 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 20 из Х_ij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

	1	2	3	4	Запасы
1	9[0]	5[70]	3[20]	10	90
2	4[50]	6	8	8[60]	110
Потребности	50	70	20	60

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы u_i, v_i. по занятым клеткам таблицы, в которых u_i + v_i = c_ij, полагая, что u₁ = 0.

	v1=9	v2=5	v3=3	v4=13
u1=0	9[0]	5[70]	3[20]	10
u2=-5	4[50]	6	8	8[60]

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых u_i + v_i > c_ij

Выбираем максимальную оценку свободной клетки (1;4): 10

Для этого в перспективную клетку (1;4) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

	1	2	3	4	Запасы
1	9[0][-]	5[70]	3[20]	10[+]	90
2	4[50][+]	6	8	8[60][-]	110
Потребности	50	70	20	60

Цикл приведен в таблице (1,4; 1,1; 2,1; 2,4; ).

Из грузов х_ij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (1, 1) = 0. Прибавляем 0 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 0 из Х_ij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

	1	2	3	4	Запасы
1	9	5[70]	3[20]	10[0]	90
2	4[50]	6	8	8[60]	110
Потребности	50	70	20	60

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы u_i, v_i. по занятым клеткам таблицы, в которых u_i + v_i = c_ij, полагая, что u₁ = 0.

	v1=6	v2=5	v3=3	v4=10
u1=0	9	5[70]	3[20]	10[0]
u2=-2	4[50]	6	8	8[60]

Опорный план является оптимальным, так все оценки свободных клеток удовлетворяют условию u_i + v_i <= c_ij.

Минимальные затраты составят:

F(x) = 5*70 + 3*20 + 4*50 + 8*60 = 1090

Все вычисления и комментарии к полученным результатам доступны в расширенном режиме. Также приведено решение двойственной транспортной задачи.