4. Расчёт параметров цепи переменного тока

Для электрической цепи, схема которой изображена на рис. 2.1, требуется определить следующие характеристики:

4.1 Токи во всех цепях сети

4.2 Определить токи в ветвях цепи, построить: векторную диаграмму токов;

Рисунок 4.1 Схема электрической цепи

Элементы цепи имеют следующие параметры:

Е=220В, С1=637мкф, С2-, С3=100мкф, L1-, L2-47,7мГн, L3-, R1-8 Ом, R2-, R3-4 Ом

4.1 Определим комплексные сопротивления ветвей схемы.

Первая ветвь схемы содержит сопротивление R1-8 Ом и емкость С1-637мкф. Ее комплексное сопротивление имеет значение:

Z1= r1-jx1=8-j10⁶ (2*3,14*50*637)-¹ =(8-j5) Ом

Z2= -jx2=-j10⁶ (2*3,14*50*47,7)-¹ = - j6 Ом

Z3= r3-jx3=4-j10⁶ (2*3,14*50*100)-¹ =(4-j31) Ом

Схема цепи с комплексными сопротивлениями приведена на рисунке 2.2

Рисунок 4.2 Схема цепи для расчета по методу контурных токов

4.2 Определим токи в ветвях сети, используя для этого метод контурных токов в комплексной форме. Уравнения контурных токов цепи имеют вид:

I11 Z11 -I22Z21 = E11

- I11 Z21 +I22Z22 = E22,

где

Z11=Z1+ Z2= (8- j11) Ом

Z22=Z2+ Z3= (4+ j25) Ом

Z12=Z21=Z2= j6

- контурные сопротивления цепи, Ом

E11= E=220; Е22= 0 - контурные ЭДС, В

Подставляя значения комплексных сопротивлений в уравнения контурных токов, получим:

I11 (8- j11) -I22 j6 = 220

I11 j6 +I22(4+ j25) = 0

Контурные токи определим из решения этой системы уравнений

I11= ∆1 ; I11= ∆2

∆ ∆ ,

где

(8- j11) j6

∆= j6 (4+ j25) = 530-j480=667e-^{j2135 ,}

220 j6

∆1= 0 (4+ j25) = (4+j)¹⁰⁼443be-^{j2843 ,}

(8- j11) 220

∆3= j6 0= -j4000=4000-^j90,

Подставив значения определителей, найдем контурные токи и токи в ветвях:

I11= I1=443be-^j2843/667e-^j2135 = 1,52e^j52

I22= I3=4000-^j90/667e-^j2135 = 1,25e-^j5523

I22= I11-I22=0,27+3,08 = 3,029e⁷⁸

Векторная диаграмма токов в цепи приведена на рисунке 2.3

Рисунок 4.3 Векторная диаграмма токов

5. Составление баланса мощности для электрической цепи

5.1 Баланс основан на законе сохранения и превращения энергии: сколько энергии выработали источники, столько же ее нагрузки должны потребить. Вместо энергии в балансе можно использовать мощность. Выработанная мощность всеми источниками должна быть равна суммарной мощности, расходуемой в нагрузках.

Баланс мощностей можно сформулировать так: алгебраическая сумма мощностей источников, должна быть равна арифметической сумме мощностей нагрузок. Если направление ЭДС и направление тока ветви не совпадают, то составляющая мощности этого источника в балансе мощностей берется со знаком «минус».

Определим активную, реактивную и полную мощности, потребляемые цепью. Для этого найдем сначала комплексную мощность цепи

. . *

S= EI1= 100*1,52e^j52 = 1,52e^j52 BA

Полная мощность определяется как модуль комплексной мощности

. .

S= (S) = 152 BA

Для определения активной и реактивной мощностей представим полную мощность в алгебраической форме

.

S= P+jQ = 152 BA(28-j143) ВА

P=28 BT

Q= -143 Вар

Такую мощность отдает источник. Для составления баланса мощностей следует еще определить мощности, потребляемые элементами ветвей. Активную мощность, потребляемую сопротивлениями г1, г3, определив по формуле

P=I1² г1+ I3² г3=1.52² *8+1.52² *4=28 BA

Q=Q3-(Q2+Q1)= I3² x-( I2² x- I1² x)=1.25²*31-(3.029²*20+1.52*5)= 46.8-183.5-7.6=- 144.3 Вар

Что точно совпадает с реактивной мощностью, отдаваемой источником напряжения. Таким образом, баланс активных и реактивных мощностей в схеме полностью соблюдается.

5.2 Построим топографическую диаграмму напряжений по внешнему контуру цепи. Эта диаграмма практически совпадает с векторной диаграммой для напряжений, так как напряжения откладываются на комплексной плоскости. Для построения этой диаграммы запишем второе уравнение Кирхгофа для внешнего контура

E=I1г1- I1jx1+I3 г3+I3jx3

или

220= 1,52e^j52*8-1,52e^j52*5j+1,25e-^j5523*4+1,25e-^j5523*31j

220=12,6e^j52-7,6e^j142+5-^j5523+38,75e-^j2545

Это уравнение, построенное на комплексной плоскости, составляет основу топографической и векторной диаграмм. Графическое изображение этого уравнения приведено на рисунках 5.1 и 5.2. В отличие от топографической диаграммы на векторной диаграмме вектора выходят из одной общей точки, как показано на рисунке 5.2