10.6. Сферическая система координат

В сферической системе координат положение геометрической точки А на плоскости определено радиус-вектором, расположенным в пространстве, в котором заданы три параметра: и . В этой системе координат положение геометрической точки А определено числами: (рис. 10.18, а). Конец радиус-вектора опишет пространственную кривую, которую называют годографом (записыватель пути) векторной функции, или в кинематическом смысле – траекторию точки.

Если радиус–вектор разложить по базисным векторам , , прямоугольной системы координат , то (рис. 10.18, б):

.

Рис. 10.18

Компоненты являются координатами точки А в прямоугольной системе координат.

Формулы преобразования от сферических координат к декартовым:

.

Пример 10.6. Движение точки задано уравнением

.

Построить траекторию движущейся точки и вычислить ее скорость при

Решение. Построить траекторию движущейся точки – это значит, построить годограф радиус-вектора. Для построения годографа составим таблицу 10.3 точек годографа для отдельных значений t.

Таблица 10.3

t
				0
			0		0

Для любой точки годографа имеем: , , , поэтому при любом t выполняется равенство , т.е. любая точка точка годографа будет лежат на образующих цилиндра – окружность в плоскости переменных , а образующая параллельна оси . Искомый годограф имеет вид, изображенный на рис. 10.19, и называется винтовой линией.

Рис. 10.19

Вычислим положение точки при заданном времени.

Точка М_О при имеет координаты: , , .

§ 11. Скалярное и векторное произведение векторов

Скалярное умножение векторов. Скалярным умножением векторов и (обозначается ) называется скаляр, определяемый равенством

,

где угол – угол между векторами и , приведенными к общему началу

(

Рис. 11.1

рис. 11.1). Если заданы векторы , , то скалярное произведение векторов вычисляется по формуле

.

Векторное умножение векторов. Векторным умножением векторов и (обозначается ) называется вектор , длина которого равна площади параллелограмма, построенного на векторах и , как на сторонах (рис. 11.2):

Рис. 11.2

,

направленный перпендикулярно плоскости, в которой лежат вектора и .

Если векторы , , заданы декартовыми координатами: ,

, , то вектор направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы и и вычисляется по формуле