9.4. Разность векторов

Разностью двух векторов и называется третий вектор , сумма которого с вычитаемым вектором дает вектор . Таким образом, если , то (на рис. 9.16 а). Вектор соответствует малой диагонали BD параллелограмма, построенного на векторах и , как на сторонах:

.

а

б

Рис. 9.16

Модуль вектора d вычисляется по теореме косинусов, рис. 9.16:

.

Следует обратить внимание на направление вектора (рис. 9, 16, б): вектор направлен от конца вектора (точка B) к концу вектора (точка D).

§ 10. Координатное представление векторов

1 Рис. 10.1 0.1. Проекция вектора на оси декартовой системы координат

Рассмотрим теперь алгебраическое представление векторов. Его иначе называют координатным представлением.

Проекция вектора на ось. Изобразим вектор направленным отрезком (рис. 10.1). Опустим перпендикуляры из начала А и конца В вектора на оси и , соответственно. Получим: на оси отрезок , называемый проекцией вектора на ось ; на оси – отрезок , называемый проекцией вектора на ось . Если направление вектора составляет с положительным направлением оси острый угол , то

Рис. 10.2

.

Проекции векторов – скаляры. Если направление вектора составляет с положительным направлением оси тупой угол , то (рис. 10.2):

,

.

Для алгебраической записи вектора нужны единичные векторы (орты, базисные векторы) и . Они всегда направлены в сторону возрастания числовых значений о

Рис. 10.3

сей системы координат, и величина их всегда равна одной единице той величины, которая отложена на данной оси. На рис. 10.3 орты изображены так, что их начало совпадает с точкой пересечения координатных осей. Эта точка необязательно соответствует началу системы координат, под которым подразумевают точку совмещения нулей координатных осей и обычно обозначают буквой О. Такое изображение ортов необязательно. Орты можно изображать в любом месте на координатной оси, более того – в любом месте рисунка, лишь бы они имели единичную величину и были сонаправлены с осями координат. Задание ортов означает задание (выбор) системы коо

Рис. 10.4

рдинат. Ортам не присваивается физическая размерность, они безразмерны.

Вектор можно записать в алгебраическом виде (рис. 10.4):

.

Слагаемые в этой сумме есть векторы. Их называют вектор проекциями исходного вектора , т.е. вектор проекция некоторого вектора на данную координатную ось есть произведение орта этой оси на соответствующую проекцию вектора. Эту процедуру называют "разложением вектора на его проекции" или "разложением вектора по ортам".

Применение теоремы Пифагора к разложению вектора на его проекции дает формулу для вычисления модуля вектора

.

10.2. Аналитическое сложение и вычитание двух векторов

Выберем декартову систему координат . В случае плоской задачи разложение векторов на их проекции (в одной и той же системе координат) позволяет легко сложить (вычесть) векторы аналитически.

Пусть заданы два вектора и (рис. 10.5, а), и пусть нам известны разложения двух векторов на их проекции:

;

;

Или

И

Рис. 10.5

з графического суммирования хорошо видно, что проекции результирующего вектора равны, рис. 10.5, а:

,

здесь

Модуль вектора вычисляется по теореме Пифагора, рис. 10.5, б:

,

а направление сектора вычисляется по направляющему косинусу:

Разность векторов и можно вычислить, воспользовавшись следующими формулами:

Рис. 10.6

, здесь

Пример 10.1. Заданы два вектора и : , , направления векторов относительно оси показаны на рис. 10.6. Сложить аналитически заданные векторы.

Решение. Совместим прямоугольную систему координат с точкой пересечения линий действий заданных векторов, рис. 10.7, а.

С

Рис. 10.7

проецируем векторы и на декартовые оси координат и ,

Имеем:

,

здесь

, здесь

Итак, имеем

,

здесь

Модуль вектора вычислим по теореме Пифагора, рис. 10.7, б:

,

а направление сектора вычисляется по направляющему косинусу:

Результаты вычислений совпадают с результатами, полученными геометрическим построением векторов в примере 9.2.

П

Рис. 10.8

ример 10.2. Два мальчика катают на тележке третьего мальчика. Первый мальчик катит тележку по горизонтали со скоростью , второй – под углом к горизонту со скоростью (рис. 10.8, а). Вычислить аналитически направление движения тележки.

Решение. Совместим прямоугольную систему координат с точкой пересечения линий действий заданных векторов, рис. 10.8, б.

Спроецируем векторы и на декартовые оси координат и , рис. 10.8, в:

Имеем:

, здесь

,

здесь

Итак,

,

здесь

Модуль вектора вычислим по теореме Пифагора, рис. 10.8, г:

,

а направление сектора вычисляется по направляющему косинусу:

Пример 10.3. На пресс, сжимающий головку сыра, в точке О приложены две силы и (рис. 10.9, а). Вычислить модуль равнодействующей силы , сжимающей головку сыра, если вектор силы направлен вертикально. Дано: , , . Вычислить: и .

Решение. Совместим прямоугольную систему координат с точкой пересечения линий действий заданных векторов, рис. 10.9, б.

Спроецируем векторы и на ось , рис. 10.9, в:

Т

Рис. 10.9

ак как по условию задачи равнодействующая направлена вертикально, то

, , ,

следовательно,

Спроецируем векторы и на ось :

Модуль равнодействующей равен:

.

Сделаем проверку, построим силовой треугольник, рис. 10.9, г.