8.2. Виды векторов

Р

Рис. 8.7

азделяют три типа векторов: свободный, скользящий и связанный.

1. Свободными векторами представляются физические величины, не изменяющиеся при переходе от одной точки пространства к любой другой. Другими словами, если векторы при параллельном переносе совмещаются, то они равны (рис. 8.7).

Определение. Два свободных вектора и называются равными, если они коллинеарны, равны по модулю и одинаково направлены. В этом случае пишут: .

При поступательном движении твердого тела скорости в каждой точке тела равны между собой по величине и направлению. Поэтому скорость тела при поступательном движении задается одним свободным вектором, приложенным в центр тяжести этого тела (рис. 8.8). Вектор скорости –свободный вектор.

Рис. 8.8

Свободным вектором называется множество всех равных векторов пространства.

2. Скользящие векторы представляют собой векторные физические величины, остающиеся неизменными вдоль линии действия вектора. Они изменяются при переходе к другой точке пространства, не лежащей на линии действия. Например, сила, приложенная к точке абсолютно твердого тела, сообщит последнему определенное движение из начального состояния. Такое же движение сообщит сила, приложенная к произвольной точке , расположенной на той же линии действия (рис. 8.9).

Рис. 8.9

Но если эту же силу приложить к точке не лежащей на данной линии , она сообщит телу иное движение.

3

Рис. 8.10

. Закрепленные векторы представляют собой физические величины, определенные только в заданной точке пространства. В других точках пространства они имеют другое значение. Например, при вращении твердого тела в плоскости вокруг неподвижного центра вектор скорости в точке – и вектор скорости в точке – являются закрепленными векторами, т. к. имеют смысл только в заданных точках пространства, рис. 8.10.

В дальнейшем будем рассматривать только свободные векторы.

§ 9. Линейные операции над свободными векторами

9.1. Геометрическое сложение двух векторов

Линейными операциями называются операции сложения и вычитания векторов и умножения вектора на число. Отметим, что для скалярных и векторных величин правила сложения и вычитания разные.

Р

Рис. 9.1

ассмотрим пример (рис. 9.1, а). Для того чтобы попасть из точки А в некоторую точку С, путник сначала проходит путь АВ, до которого 4 kм, затем путь ВС, равный 3 kм и попадает в пункт С; при этом он проходит путь, который вычисляется алгебраическим сложением

_.

Расстояние между пунктами А и С можно вычислить по теореме Пифагора (рис. 9.1, а):

.

Определим путь АВ вектором , где ; путь – вектором , где . Тогда путь определим вектором , где (рис. 2.1, б). Из рис. 9.1, б видно, что вектор соединяет начало вектора с концом вектора . Треугольник АВС (рис. 9.1, б) называется векторным треугольником.

Вектор называется суммой векторов и . В этом случае пишут:

. (1)

В общем случае, при сложении двух векторов, приложенных в одну точку А, используют так называемое «правило параллелограмма».

Пример 9.1. Заданы два вектора и , то есть заданы модули векторов: , , а направления векторов относительно оси показаны на рис. 9.2, а. Сложить геометрически заданные векторы.

Решение. Параллельным переносом совместим начало вектора с концом вектора (рис. 9.2, б). Вектор соединит начало вектора (точку ) с концом вектора (точкой ), получим вектор , который является суммой векторов и :

.

В

Рис. 9.2

ычислим модуль и направление полученного геометрически вектора . Для этого вычислим угол (рис. 9.2, б):

.

По формуле приведения имеем

Используя теорему косинусов для , вычислим модуль вектора (рис. 9.2, б):

Определим направление вектора относительно оси , т. е. вычислим угол , рис. 9.2, в.

Геометрия задачи (рис. 9.2, б).

Рассмотрим . Угол , тогда

.

Рассмотрим . Угол , тогда

Вычислим длину отрезка :

.

Рассмотрим :

;

.

Г

Рис. 9.3

еометрическим построением векторов можно убедиться в правильности вычислений, измерив линейкой сторону с параллелограмма и транспортиром угол .

Правило параллелограмма. Пусть и – два свободных вектора (рис. 9.3, а). Выберем произвольно точку А. Параллельным переносом векторов и , совместим их начало с точкой (рис. 9.3, б). Построим на этих векторах, как на сторонах, параллелограмм . Для этого из конца вектора проведем прямую, параллельную линии действия вектора ; из конца вектора проведем прямую, параллельную линии действия вектора . Эти прямые пересекутся в точке . Вектор , соединяющий точки А и С параллелограмма, является суммой векторов и :

.

Полученный параллелограмм состоит из двух равных треугольников: и . Если вектор параллельным переносом совместим с прямой , получим правило сложения векторов (1) – правило векторного треугольника, рис. 9.3, в.

Операция сложения векторов обладает переместительным (коммутативным) свойством

.

Модуль вектора вычисляется по теореме косинусов (рис. 9.3, в)

.

Итак, сложение двух векторов можно выполнить двумя способами: построением параллелограмма или построением векторного треугольника. Оба графических построения дают один и тот же результат.

П

Рис. 9.4

ример 9.2. Заданы два вектора и : , , направления векторов относительно оси показаны на рис. 9.4. Сложить заданные векторы по правилу параллелограмма.

Решение. По условию задачи начало векторов и совпадают, рис. 9.5. Из конца вектора проведем прямую, параллельную линии действия вектора ; из конца вектора проведем прямую, параллельную линии действия вектора . Эти прямые пересекутся в точке . Вектор , соединяющий точки А и С параллелограмма, является суммой векторов и :

.

Геометрия задачи (рис. 9.5)

Рассмотрим . Угол , тогда используя теорему косинусов для , вычислим модуль вектора (рис. 9.5, б):

Рис. 9.5

Определим направление вектора относительно оси , т. е. вычислим угол , рис. 9.5, б.

Рассмотрим . Угол , тогда, используя теорему синусов для , получим

;

.

Геометрическим построением векторов можно убедиться в правильности вычислений, измерив линейкой сторону с параллелограмма и транспортиром угол . Используя понятия вектора и правила их сложения, можно моделировать и решать реальные физические задачи.

Пример 9.3. Два мальчика катают на тележке третьего мальчика. Первый мальчик катит тележку в плоскости по горизонтали со скоростью , второй – под углом к нему со скоростью (рис. 9.6, а). Вычислить направление движения тележки.

Решение. Скорость движения любого объекта является векторной величиной, т.к. она определяет и направление движения, и изменение пройденного пути со временем, т. е. величину скорости.

П

Рис. 9.6

оэтому направление движения тележки определяется направлением вектора скорости тележки .

Изобразим скорость движения мальчиков, катающих тележку через векторы, направление которых задано, рис. 9.6, б.

Вычислим направление скорости тележки. Сложим геометрически векторы и , отложенные в масштабе 1:2 от точке , рис. 9.6, в:

.

Геометрия задачи

Рассмотрим и вычислим угол (рис. 9.6, в):

.

Используя теорему косинусов для , вычислим модуль вектора (рис. 9.6, в):

Определим направление движения тележки оси , т. е. вычислим угол , рис. 2.6, г.

Рассмотрим . Угол , тогда, используя теорему синусов для , получим

.

Измерив полученную диагональ (рис.9.6,в), убедимся, что Измерив транспортиром угол , убедимся, что .

П

Рис. 9.7

ример 9.4. Вертикально падающие капли дождя оставляют на боковых стеклах автомобиля полосы под углом к вертикали, рис. 9.7. Скорость движения автомобиля 60 км/ч. Определить, с какой скоростью падают капли дождя.

Решение. Изобразим движение автомобиля, капель дождя на стекле автомобиля, и сам дождь через векторы, направление которых задано, рис. 9.7. Дождь на автомобиль падает вертикально, следовательно, вектор скорости выбранной капли направлен вертикально, обозначим скорость как вектор ; относительно Земли скорость автомобиля обозначим вектором : скорость движения капли дождя по боковому стеклу автомобиля обозначим через вектор (рис. 9.8, а). Тогда вектор скорости капли дождя можно представить в виде геометрической суммы векторов и .

П

Рис. 9.8

о условию задачи известно, что , .

Геометрия задачи

Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника, рис. 9.8, б.

Рассмотрим :

.

П

Рис. 9.9

одставим заданные значения, получим скорость падающей капли дождя:

.

Пример 9.5. На пресс, сжимающий головку сыра, в точке О приложены две силы и (рис. 9.9). Вычислить модуль равнодействующей силы , сжимающей головку сыра, если она направлена вертикально. Вычислить модуль силы . Дано: , , .

Решение. Изобразим действующие на пресс силы через векторы, направление которых задано, рис. 9.9, б. Геометрическая сумма заданных сил равна равнодействующей силе , которую вычислим по правилу параллелограмма:

.

Диагональ параллелограмма, построенного на векторах, как на сторонах, делит параллелограмм на два равных треугольника. Рассмотрим , рис. 9.9, б:

.

По теореме синусов, получаем

.

Здесь

; .

Итак,