§ 8. Понятие вектора

8.1. Определения

В различных разделах физики, механики и технических наук встречаются величины двух типов, изучаются величины разного рода. Одни величины определяются заданием их числовых значений, например, длина, площадь, объем, масса, плотность, температура и т. д. Такие величины называются обыкновенными числами или скалярами. Правила работы с этими числами рассмотрены в алгебре.

Помимо скалярных величин, в различных задачах встречаются величины, для определения которых, кроме числового значения, необходимо знать также их направление. Правила работы с этими величинами рассматриваются в векторной алгебре.

Н

Рис. 8.1

апример, мы хотим определить положение путника относительно некоторой выбранной точки. Мы можем указать, сколько метров от выбранной точки до предмета, но не можем полностью определить его местоположение, пока не укажем направление, в котором он находится. Рассмотрим другой пример. Для того чтобы попасть в некоторую точку В, возможны два варианта (рис. 8.1):

1. Пройти сначала путь АС, до которого 4 kм и затем путь СВ, равный 3 kм и попасть в пункт В.

2. Если в начале пути определить, что пункт В находится к северо-востоку от пункта А и до него 5 kм, то можно пройти путь АВ, равный 5 kм и попасть в пункт В.

Таким образом, положение пункта назначения от выбранной точки А нужно характеризовать численным значением (расстоянием в метрах, километрах и т. д.) и направлением, например, по компасу (рис. 8.2). Комбинация двух величин – численное значение и направление – определяет векторную величину, или просто вектор.

В

Рис. 8.2

ектор – это величина, которая характеризуется своим численным значением и направлением.

Часто в школьных учебниках вектором называется направленный отрезок AB, для которого указан порядок его начала и конца. С помощью векторов описываются такие физические величины, как перемещение, скорость, сила и др.; необходимость их математического описания и привела к возникновению понятия вектора. Термин был введен У. Гамильтоном в 1845 г.

Г

Рис. 8.3

рафически векторы изображают с помощью отрезка со стрелкой на конце (рис. 8.3, а). Причем длина отрезка при выбранной единице масштаба равна числовому значению векторной величины. Чтобы отрезку , ограниченному точками А и В, прописать направление, точки А и В задаются в определенном порядке: первая точка (пишется на первом месте) называется началом вектора, вторая (пишется на втором месте) – его концом (рис. 8.3, а). Если А – начало вектора и В – его конец, то вектор обозначается или малой латинской буквой с чертой над ней, например, . Начало вектора называют точкой приложения вектора (рис. 8.3, б). Линия, вдоль которой направлен вектор, называется линией действия вектора (рис. 8.3, в).

Направление вектора можно задать в правой декартовой системе координат углом , который нужно отсчитывать от положительного направления оси против часовой стрелки (рис. 8.3, г). Направление отсчета угла играет важную роль.

В кинематической интерпретации вектор рассматривается как путь, пройденный прямолинейно движущейся точкой от начального положения А до конечного положения В.

Любой вектор характеризуется точкой приложения (точка А), длиной и линией действия. Длина вектора называется его модулем и обозначается символом . Модуль вектора обозначается Часто модуль вектора обозначается просто прописной буквой . Записи и равнозначны.

Вектор, модуль которого , называется единичным вектором.

Вектор называется нулевым вектором (обозначается ), если начало вектора и конец его совпадают. Нулевой вектор направления не имеет.

П

Рис. 8.4

Рис. 8.5

усть и – два вектора, расположенные на параллельных линиях действия; векторы и могут быть направлены либо одинаково, либо противоположно (рис. 8.4, а). Это означает следующее: в первом случае направление векторов и одинаково относительно прямой , соединяющей точки приложения векторов; во втором случае – разное относительно прямой , соединяющей точки приложения векторов и (рис. 8.4, б).

Векторы и , расположенные на одной линии действия или на параллельных линиях действия, называются коллинеарными. Замена вектора вектором , если , называется переносом вектора (рис. 8.5).

Пусть задана ось с выделенным направлением , рис. 8.6. Вектор считается положительно направленным, если его направление совпадает с направлением заданной оси и отрицательно направленным – если его направление противоположно направлению заданной оси .

Рис. 8.6