
- •§ 8. Понятие вектора
- •8.1. Определения
- •8.2. Виды векторов
- •§ 9. Линейные операции над свободными векторами
- •9.1. Геометрическое сложение двух векторов
- •9.2. Геометрическое сложение трех векторов
- •9.3. Геометрическое сложение четырех и более векторов
- •9.4. Разность векторов
- •§ 10. Координатное представление векторов
- •1 Рис. 10.1 0.1. Проекция вектора на оси декартовой системы координат
- •10.2. Аналитическое сложение и вычитание двух векторов
- •10.3. Аналитическое сложение трех векторов
- •10.4. Радиус-вектор
- •10.5. Полярная система координат
- •10.6. Сферическая система координат
- •§ 11. Скалярное и векторное произведение векторов
§ 8. Понятие вектора
8.1. Определения
В различных разделах физики, механики и технических наук встречаются величины двух типов, изучаются величины разного рода. Одни величины определяются заданием их числовых значений, например, длина, площадь, объем, масса, плотность, температура и т. д. Такие величины называются обыкновенными числами или скалярами. Правила работы с этими числами рассмотрены в алгебре.
Помимо скалярных величин, в различных задачах встречаются величины, для определения которых, кроме числового значения, необходимо знать также их направление. Правила работы с этими величинами рассматриваются в векторной алгебре.
Н
Рис. 8.1
1. Пройти сначала путь АС, до которого 4 kм и затем путь СВ, равный 3 kм и попасть в пункт В.
2. Если в начале пути определить, что пункт В находится к северо-востоку от пункта А и до него 5 kм, то можно пройти путь АВ, равный 5 kм и попасть в пункт В.
Таким образом, положение пункта назначения от выбранной точки А нужно характеризовать численным значением (расстоянием в метрах, километрах и т. д.) и направлением, например, по компасу (рис. 8.2). Комбинация двух величин – численное значение и направление – определяет векторную величину, или просто вектор.
В
Рис. 8.2
Часто в школьных учебниках вектором называется направленный отрезок AB, для которого указан порядок его начала и конца. С помощью векторов описываются такие физические величины, как перемещение, скорость, сила и др.; необходимость их математического описания и привела к возникновению понятия вектора. Термин был введен У. Гамильтоном в 1845 г.
Г
Рис. 8.3
,
ограниченному точками А и В,
прописать направление, точки А и В
задаются в определенном порядке: первая
точка (пишется на первом месте) называется
началом вектора, вторая (пишется на
втором месте) – его концом (рис. 8.3, а).
Если А – начало вектора и В –
его конец, то вектор обозначается
или малой латинской буквой с чертой над
ней, например,
.
Начало вектора называют точкой
приложения вектора
(рис. 8.3, б). Линия, вдоль которой
направлен вектор, называется линией
действия вектора (рис. 8.3, в).
Направление вектора
можно задать в правой декартовой
системе координат углом
,
который нужно отсчитывать от положительного
направления оси
против часовой стрелки (рис. 8.3, г).
Направление отсчета угла играет важную
роль.
В кинематической интерпретации вектор рассматривается как путь, пройденный прямолинейно движущейся точкой от начального положения А до конечного положения В.
Любой
вектор характеризуется точкой приложения
(точка А),
длиной и линией действия. Длина вектора
называется его модулем и обозначается
символом
.
Модуль вектора
обозначается
Часто модуль вектора обозначается
просто прописной буквой
.
Записи
и
равнозначны.
Вектор,
модуль которого
,
называется единичным вектором.
Вектор
называется нулевым
вектором
(обозначается
),
если начало вектора и конец его совпадают.
Нулевой вектор направления не имеет.
П
Рис. 8.4
Рис. 8.5
– два вектора, расположенные на
параллельных линиях действия; векторы
и
могут быть направлены либо одинаково,
либо противоположно
(рис. 8.4, а). Это означает следующее: в
первом случае направление векторов
и
одинаково относительно прямой
,
соединяющей точки приложения векторов;
во втором случае – разное относительно
прямой
,
соединяющей точки приложения векторов
и
(рис. 8.4, б).
Векторы
и
,
расположенные на одной линии действия
или на параллельных линиях действия,
называются коллинеарными. Замена вектора
вектором
,
если
,
называется переносом
вектора
(рис. 8.5).
Пусть задана ось с выделенным направлением , рис. 8.6. Вектор считается положительно направленным, если его направление совпадает с направлением заданной оси и отрицательно направленным – если его направление противоположно направлению заданной оси .
Рис.
8.6