§ 70. Пояснения к идее чистого учения о многообразии

Эти намеки покажутся, быть может, несколько затемненными. Что дело идет тут не о смутных фантазиях, а о концепциях с прочным содержанием, показывает «формальная математика» в самом общем смысле, или учение о многообразии, этот плод высшего расцвета современной математики. И действи-

280 Эдмунд Гуссерль

тельно, это учение есть не что иное как частичное осуществление только что намеченного идеала. Этим, разумеется, еще не сказано, что сами математики, руководимые первоначально интересами области чисел и величин и ограниченные этими интересами, правильно поняли идеальную сущность новой дисциплины и вообще возвысились до последней абстракции всеобъемлющего учения о теориях. Предметный коррелят понятия возможной, определенной только по своей форме теории есть понятие возможной области познания вообще, подчиненной теории такой формы. Но такую область математик (в своем кругу) называет многообразием. Это есть, стало быть, область, которая единственно и исключительно определяется тем, что она подчинена теории такой-то формы, т. е. что для ее объектов возможны известные связи, подчиненные известным основным законам данной определенной формы (здесь это есть единственно определяющее). По своему содержанию эти объекты остаются совершенно неопределенными — математик, чтобы указать на это, охотно говорит об «объектах мышления». Они не определены ни прямо, как индивидуальные или специфические циничности, ни косвенно своими внутренними видами или родами, а исключительно только формой признанных за ними связей. Эти последние по содержанию так же мало определены, как и их объекты; определена только их форма, и она определяется именно формой элементарных законов, действие которых усматривается в ней. И эти законы определяют как область, так и выстраиваемую теорию или, вернее, форму теории. В учении о многообразии, например, + есть не знак сложения чисел, а знак такого соединения вообще, к которому применимы законы формы a+b=b+a и т. д. Многообразие определено тем, что его объекты мышления допускают эти «операции», как и другие, о которых можно доказать, что они a priori совместимы с первыми.

Логические исследования 281

Самая общая идея учения о многообразии состоит в том, чтобы быть наукой, которая определенным образом развивает существенные типы возможных теорий и исследует их закономерные взаимоотношения. Тогда все действительные теории являются специализациями и сингуляризациями соответствующих им форм теории, как и все теоретически обработанные области познания — отдельными многообразиями, Если в учении о многообразии действительно проведена соответствующая формальная теория, то этим исчерпана вся дедуктивная теоретическая работа построения всех действительных теорий той же формы.

Эта точка зрения имеет величайшее методологическое значение, без нее нельзя и говорить о понимании математических методов. Не менее важно связанное с переходом к чистой форме включение последней в более широкие формы и классы форм. Что именно в этом приеме заключается главный источник удивительного методологического искусства математики, показывает не только взгляд на учения о многообразии, которые выросли из обобщений геометрической теории и формы теории, но даже первый и самый простой случай этого рода, расширение реальной области чисел (или соответствующей формы теории, «формальной теории реальных чисел») и превращение ее в формальную, удвоенную область простых комплексных чисел. И действительно, в этом воззрении лежит ключ к единственно возможному разрешению все еще невыясненной проблемы, на каком основании, например, в области чисел с невозможными (недействительными) понятиями можно обращаться, как с реальными. Однако здесь не место подробно развивать это.

Говоря выше о теориях многообразий, возникших из обобщений геометрической теории, я разумел, конечно, учение о многообразиях п измерений — Эвклидовых и не-Эвклидовых, далее, учение Грассма-

282 Эдмунд Гуссерль

на о протяжении и родственные, легко отделимые от всего геометрического, теории В. А. Гамильтона и др. Сюда же относится учение Lie о трансформационных группах, исследования G. Cantor'a о числах и многообразиях и многие другие.

Рассматривая способ, которым посредством варьирования меры кривизны совершается взаимный переход между различными видами пространственно-подобных многообразий, философ, изучивший начала теории Римана-Гельмгольца, может составить себе некоторое представление о том, как чистые формы теории определенно различного типа соединяются между собой закономерными связями. Было бы легко показать, что познание истинного замысла подобных теорий как чисто категориальных форм теорий изгоняет всякий метафизический туман и всякую мистику из соответственных математических исследований. Если мы назовем пространством некоторую известную нам форму порядка мира явлений, то, разумеется, противоречиво говорить о «пространствах», для которых не имеет значения аксиома о параллелях; противоречиво также говорить о различных геометриях, поскольку геометрия есть именно наука о пространстве мира явлений. Но если мы под пространством понимаем категориальную форму мирового пространства, и под геометрией — категориальную теоретическую форму геометрии в обычном смысле, тогда пространство входит в подлежащий закономерному отграничению вид категориально-определенных многообразий, в отношении которого естественно можно говорить о пространстве в более широком смысле. И геометрическая теория тоже входит в соответствующий вид теоретически связанных и чисто категориально определенных форм теории, которые тогда в соответственно расширенном смысле можно называть «геометриями» этих «пространственных» многообразий. Во всяком случае учение о

Логические исследования 283

«пространствах п измерений» осуществляет теоретически замкнутую часть учения о теориях в определенном выше смысле. Теория Эвклидова многообразия о трех измерениях есть последняя идеальная единичность в этом закономерно связанном ряду априорных и чисто категориальных форм теорий (формальных дедуктивных систем). Само это многообразие есть в отношении «нашего» пространства, т. е. пространства в обычном смысле, соответствующая ему чисто категориальная форма, стало быть, идеальный вид, по отношению к которому наше пространство составляет, так сказать, индивидуальную единичность, а не видовое различие. Другой грандиозный пример есть учение о комплексных системах чисел, в пределах которой теория «простых» комплексных чисел есть опять-таки сингулярная единичность, последнее видовое различие. В отношении соответствующих теорий арифметика совокупности, арифметика порядковых чисел, арифметика quantite dirigee и т. п. представляют собой все в известном смысле индивидуальные единичности. Каждой из них соответствует формальная видовая идея, в данном случае учение об абсолютных целых числах, о реальных числах, о простых комплексных числах и т. д., причем «число» следует понимать в обобщенно-формальном смысле.