Глава 3. Прямоугольный треугольник с углом 30 градусов.

№1. Школьная теорема 1. Катет, противолежащий углу в 30 градусов, равен половине гипотенузы.2

№2. Школьная теорема 2. Острый угол прямоугольного треугольника равен 30^o. Докажите, что высота и медиана, проведённые из вершины прямого угла, делят прямой угол на три равные части.

№3. Школьная теорема 3. В прямоугольном треугольнике один из углов равен 30^o. Докажите, что в этом треугольнике отрезок перпендикуляра, проведённого к гипотенузе через её середину до пересечения с катетом, втрое меньше большего катета.

№4. Школьная теорема 4. Отрезок, соединяющий основание биссектрисы из угла в 60 градусов и его центр тяжести, перпендикулярен его катету .(см. Сканави, Сборник задач по математике для поступающих в Вузы, издание 6, 2004. С.224)

№5. Школьная теорема 5. В треугольнике ABC угол A равен 60^o, а биссектриса угла A, медиана, проведённая из вершины B, и высота, проведённая из вершины C, пересекаются в одной точке. Докажите, что этот треугольник соответствует случаю треугольника главы.

№6. Задача Ю.А.Блинкова. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C угол A равен 30°, точка I – центр вписанной окружности ABC, D – точка пересечения отрезка BI с этой окружностью.

Докажите, что отрезки AI и CD перпендикулярны.

№7. Задача из фольклора. В прямоугольном треугольнике АВС угол А равен 60°, М – середина гипотенузы АВ. Найдите угол IMA, где I – центр окружности, вписанной в данный треугольник.

№8. Задача Д.В.Швецова. В треугольнике ABC  ∠A = 60°.  Серединный перпендикуляр к отрезку AB пересекает прямую AC в точке C₁. Серединный перпендикуляр к отрезку AC пересекает прямую AB в точке B₁. Докажите, что прямая B₁C₁ касается окружности, вписанной в треугольник ABC.

Авторские разработки.

№9. В прямоугольном треугольнике ABC с углом A=30 градусов и гипотенузой AC на стороне AB во внешнюю сторону построен равносторонний треугольник ABK. Какую из сторон треугольника ABK, отличную от AB, пересекает биссектриса угла C?

№10. Условие: центр вписанной окружности I треугольника ABC с прямым углом B отразили симметрией относительно катета AB и получили точку I'. При этом оказалось, что луч CI' делит угол ACB в отношении 1: 3,так что точка I' ближе к прямой BC, нежели к прямой AC.

Найти углы треугольника.

№11. Условие: прямоугольный треугольник ABC с прямым углом B и углом A, равным 60 градусам. На его гипотенузе AC отмечена середина D, проведена описанная окружность треугольника ABC, радиус DE, образующий с гипотенузой угол в 30 градусов и не пересекающий катет AB . В треугольнике ABC отмечен центр вписанной окружности I. Требуется выразить площадь треугольника ABC через длины отрезков BD и IC.

№12. Условие: в прямоугольном треугольнике ABC медиана AD пересекает отрезок CI в точке E, центр вписанной окружности I отражён отнгосительно стороны AC и получена точка I’. Окружность касается катета стороны BC в точке E. Оказалось, что оттрезки EI’, CI и AD пересекаются в одной точке. Найти углы треугольника.

№1. Указание: достройте треугольник до равностороннего треугольника.

№2. Указание: используйте свойство медианы из вершины прямого угла.

№3. Указание: используйте теорему задачи №1 и свойство биссектрисы угла.

№4. Указание: используйте свойство биссектрисы треугольника и обобщённую теорему Фалеса.

№5. Указание:сначала посчитайте отношения длин проекций катетов на гипотенузу, затем используйте сначала свойство биссектрисы треугольника, затем теорему Чевы для треугольника ABC.

№6. Опусти из точки I перпендикуляр IE на сторону BC. Ясно, что IE=ED=CE, поэтому угол BCD равен 15 градусам, отсюда выводится утверждение (последний шаг сделайте самостоятельно!).

№7. Так как AM=AC, AE=AQ и QM=CE=IE=IQ, где E и Q0—точки касания окружности со сторогнами AC и AB.

№8. Пусть B₀, C₀ – середины сторон AC, AB соответственно. Так как треугольники AB₀B₁, AC₀C₁ – прямоугольные с  ∠A = 60°,  то  AB₁ = 2AB₀ = AC  и AC₁ = 2AC₀ = AB.  Следовательно, прямая B₁C₁ симметрична BC относительно биссектрисы угла A. Поскольку эта биссектриса проходит через центр вписанной окружности, а прямая BC касается этой окружности, то и прямая B₁C₁ её касается.

№9. Проведём биссектрису угла C и обозначим её пересечение со стороной AB—точку K. Тогда CK параллелен BK, и тогда ясно, что данная биссектриса пересекает именно сторону AK.

№10. Указание: докажите, что CI=II’.

№11. Указание: доказать, что треугольники BAD и CIA подобны.

№12. Указание: используйте свойство биссектрисы треугольника.