В данной книге рассматривается 7 частных случаев треугольника. В каждой главе не менее 5 и не более 30 задач, всего же около 100. Материалы взяты с сайтов www.problems.ru и vk.com и из собственного творчества. Материалы построены так, чтобы запомнился базовой уровень знаний по теме монографии. Имеется в виду та часть глав, где размещены так называемые «школьные задачи», а именно известные простые задачи, не имеющие общеизвестного автора, которые часто даются в школе. Желательно также запомнить все теоремы глав (которые названы «теоремами»). Остальное идёт в дополнение.

Глава 1. Прямоугольный треугольник.

№1. Школьная задача 1. Углы между высотой из вершины прямого углап и его катетами равны углам острым углам самого треугольника.

№2. Школьная задача 2. Угол, под которым видна гипотенуза прямоугольного треугольника из центра его вписанной окружности , равен 135 градусам.

№3. Школьная задача 3. Свойство медианы из вершины прямого угла. Медиана из вершины прямого угла делит гипотенузу пополам.

№4. Школьная задача 4. Отношение проекций катетов друг к другу равно отношению квадратов соответствующих катетов.

№5. Школьная задача 5. Теорема Пифагора. Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

№6. Школьная задача 6. Средние пропорциональные в прямоугольном треуольнике. Квадрат катета равен произведению своей проекцию на гипотенузу на саму гипотенузу. Квадрат высоты из вершины прямого угла равен произведению проекций катетов треугольника.

№7. Школьная задача 7. Луч, соединяющий вершину прямого угла с центром квадрата, построенного на гипотенузе как на стороне во внешнюю сторону, является его биссектрисой.

№8. Задача Произволова 1.

На стороне AB треугольника ABC взята такая точка P, что  AP = 2PB,  а на стороне AC – ее середина, точка Q. Известно, что  CP = 2PQ.  Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

№9. Задача Произволова 2.

В прямоугольном треугольнике ABC точка O – середина гипотенузы AC . На отрезке AB взята точка M , а на отрезке BC – точка N , причём угол MON – прямой.

Докажите, что AM^2+CN^2 = MN^2.

№10. Задача Швецова 1.

Пусть BM – медиана прямоугольного треугольника ABC  (∠B = 90°).  Окружность, вписанная в треугольник ABM, касается сторон AB, AM в точках A₁, A₂; аналогично определяются точки C₁, C₂. Докажите, что прямые A₁A₂ и C₁C₂ пересекаются на биссектрисе угла ABC.

№11. Задача Швецова 2.

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник ABC  (∠B = 90°),  касается сторон AB, BC, CA в точках C₁, A₁, B₁ соответственно. A₂, C₂ – точки, симметричные точке B₁ относительно прямых BC, AB соответственно. Докажите, что прямые A₁A₂, C₁C₂ пересекаются на медиане треугольника ABC.

№12. Задача Швецова 3.

Вневписанная окружность прямоугольного треугольника ABC  (∠B = 90°)  касается стороны BC в точке A₁, а прямой AC в точке A₂. Прямая A₁A₂ пересекает (первый раз) окружность, вписанную в треугольник ABC в точке A'; аналогично определяется точка C'. Докажите, что  AC || A'C'.

Авторские задачи.

№1. Условие: прямоугольный треугольник ABC. ( угол B- прямой) .Биссектриса AD. Высота BE. Биссектрисы углов ABE и EBC- BF и BG соответственно. Они пересекают биссектрису AD в точках J и I соответственно.

Доказать: ΙΒ=IJ=IG=IE.

№2. Условие: прямоугольный треугольник ABC с прямым углом B. Высота BD.

Найти на высоте BD такую точку E, чтобы отрезок, соединяющий точки пересечения окружности, описанной около треугольника AEC, с прямыми, содержащими катеты треугольника, проходил через D.

№3. Условие: вокруг прямоугольного треугольника ABC описана окружность; высота BD продолжена до пересечения с касательной к середине дуги AC в точке E. Отрезок, соединяющий середину гипотеущы и точки E, пересекает окружность в точке F, а луч, выходящий из середины дуги AC-- P и проходящий через D, пересекает окружность в точке H.

Доказать: сумма дуг PF и CH равна дуге FC.

№4. Условие: прямоугольный треугольник ABC с прямым углом B; средняя линия DE (середины лежат на катетах). BF- высота, пересекает DE в точке G, на средней линии взята точка H так, что HE=DG.

Доказать: AH=CH.

№5. Условие: в прямоугольном треугольнике ABC угол A—прямой . Высота AE, медиана CD.

Доказать: эта медиана не может проходить через центр вписанной окружности треугольника AEB.

№6. Условие: в прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом B проведена высота BD; пусть на катетах AB и BC существуют точки F и E, так что AD=DF и BD=DE. Около треугольника DEC описана окружность с центром O. Отрезок EO пересекает гипотенузу AC в точке P.

Доказать: отрезок EF проходит через ортоцентр треугольника ABP.

№7. Условие: в прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом B и углом BAC<30 внутри его взята «необычная» точка E, такая, что EC=BC=AE, проведён перпендикуляр BD к гипотенузе AC.

Докажите, что ED=DC

№8. Условие: в прямоугольном треугольнике ABC угол B—прямой, а угол A равен 30 градусам. На стороне BC во внешнюю сторону построен равносторонний треугольник ADC.

Докажите, что BD^2=2AB^2-BC^2.

№9. Условие: в прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом A проведена медиана BD и через неё проведена прямая.Построить циркулем и линейкой такую точку Q на этой прямой, что площадь треугольника AQB равна AC^2.

№10. Условие: дан прямоугольный треугольник с гипотенузой AC, проведена BD-биссектриса треугольника;отмечены середины дуг BD окружностей, описанных около треугольников ADB и CDB-E и F соответственно (сами окружности не проведены!); эти дуги не содержат концов гипотенузы треугольника.

Построить одной линейкой центры окружностей.

№11. Условие: около прямоугольного треугольника ABC с прямым углом B описана окружность. В треугольнике проведена высота BD. На дуге AC по другую сторону относительно AC, чем B, отмечена произвольная точка E. Из неё опущен перпендикуляр EF на прямую AC.

1. Построить отрезок, равный по длине гипотенузе треугольника, образованного катетами с длинами, равными длинам отрезков BD и EF, одним прямым углом.

2. Построить отрезок, равный по длине катету треугольника, у которого гипотенуза равна отрезку BD, а катет—отрезку EF (будем считать, что BD>EF), также одним прямым углом.

№12. Условие: дан прямоугольный треугльник ABC. На катете AB во внешнюю сторону построен равносторонний треугольник ADB, а на гипотенузе AC во внутреннюю сторону—равносторонний треугольник AEC. Прямые DE и AB пересекаются в точке M. Весь чертёж стёрли, оставив только точки A и B.

Восстановите точку M.

№13. Условие: в прямоугольном треугольнике ABC с гипотенузой AC отмечена середина стороны BC-D. Построена окружность, касающаяся BC в точке D и проходящая через вершину треугольника A, пересекающая стороны AB и AC в точках E и F соответственно.

Сравнить отрезки BF и CE. (отпр. Sh)

_________________________________________________________________________________

Решение авторских задач.

№1. Указание: оспользуйтесь теоремой о суме углов в треугольнике и свойством медианы из вершины прямого угла.

№2. Указание: рассмотрите прямую, соединяющую основание высоты из вершины прямого угла и середину одного из катетов.

№3. Указание: воспользуйтесь угловыми свойствами прямоугольника и равенством радиусов одной и той же окружности.

№4. Указание: найдите в конструкции равные прямоугольные треугольники.

№5. Указание: пусть EF пересекает BD в точке K. Тогда даётся указание: докажите, что четырёхугольник EKDP—прямоугольник.

№6. Указание: сделайте дополнительные построения, чтобы полуились равные прямоугольные треугольники.

№7. Указание. Пусть центр вписанной окружности треугольника AEB—I. Рассмотрите возможные значения углов треугольника, образованного прямыми AI, IE и AC.

№8. Указание: Найдите в конструкции подобные равнобедренные треугольники.

№9. Указание: опустите из прелполагаемой точки перпендикуляр на AB и посчитайте площадь треугольника AQB двумя способами. Можете решит задачу и по-другому ( у неё естьь такие решение).

№10. Здесь будет приведено только авторское решение, хотя можно решить проще. Продолжим DE и DF до пересечения с BC и AB в точках K и L. Затем проводятся отрезки KF и LE, прямую DH, где H—пересечение последних отрезков, пересекающую AB в точке N (не ограничивая общности). Пересечение EF с CN даст искомый центр. Второй центр строится аналогично. Докажите построение самостоятельно.

№11. Начнём со второй задачи. Отразим точку E симметрией относительно гипотенузы и получим точку E’, аналогично с точкой B, где образом будет F’. Опустим из точки E’ перпендикуляр E’K на отрезок BD; поставим прямой угол так, чтобы его лучи проходили через точкки B и F’, а вершина лежала на прямой E’K (обозначим её M). Отрезок KM и будет искомым решением (докажите это самостоятельно).

№12. Указание: докажите, что вершины равносторонних треугольнико, построенных на катетах во внешнюю сторону и на гипотенузе—во внутреннюю, расположены на одной прямой.

№13. Восстановим серединный перпендикуляр к стороне BC. Очевидно, он будет содержать центр описанной окружности треугольника EAF (обозначим его K).

Лемма: угол AEF- тупой.

Доказательство леммы: так как угол DAC меньше угла DAB, по теореме о вписанном угле из равенства углов DAC и FDC и BAD и EFD заключаем, что угол FDC меньше угла EFD. Проведём через точку F прямую, параллельную BC и обозначим точку её пересечения с прямой AB F’. Так как, по свойству параллельности, углы E’FD и FDC равны, то луч FE’ находятся внутри угла E’FA и FE’ перпендикулярен AB. Тогда точка E принадлежит отрезку AE’ и угол AEF- тупой, что и требовалось доказать.

Так как треугольник BKC- равнобедренный, угол при основании KBC меньше 90 градусовб а согласно лемме, K лежит вне треугольника AEF, а значит, и треугольника ABC. Тогда угол EKC больше угла BKF и, рассмотрев треугольники EKC и BKF, имеющие по две равных стороны и разные углы между ними, получаем по теореме косинусов, что CE>BF.

_________________________________________________________________