8. Характеристики рассеивания случайной величины.
В качестве числовых характеристик рассеивания используются: дисперсия, среднее квадратическое (стандартное) отклонение, вероятностное (срединное) отклонение.
Дисперсией называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания, т. е.:
D[X] = M[(X – m2)2]. (2.20)
В соответствии с соотношениями (2.17) и (2.18) дисперсия дискретной случайной величины вычисляется с помощью оператора
Средним квадратическим отклонением (его принято обозначать символом σx) называется положительный квадратный корень из дисперсии, т.е.:
s x = +√Dx. (2.23)
Очевидно, что среднее квадратическое отклонение характеризует степень рассеивания возможных значений случайной величины не хуже дисперсии, а его размерность совпадает с размерностью соответствующей случайной величины.
Вероятным (срединным) отклонением называется половина интервала, симметричного относительно математического ожидания, в который случайная величина попадает с вероятностью 0,5. Иначе говоря, вероятное (срединное) отклонение определяется из условия
P (|X – mx| < Bx) = 0,5. (2.24)
Возможность его использования в качестве характеристики рассеивания вытекает из того, что получаемая согласно условию (2.24) величина Вх однозначно определяется видом кривой ƒ(x) и поэтому хорошо "отслеживается" степень рассеивания случайной величины
9. Моменты распределения случайных величин.
При обработке данных используют такие характеристики случайной величины Х как моменты порядка q, т.е. математические ожидания случайной величины Xq, q = 1, 2, … Так, само математическое ожидание – это момент порядка 1. Для дискретной случайной величины момент порядка q может быть рассчитан как:
Для непрерывной случайной величины:
Моменты порядка q называют также начальными моментами порядка q, в отличие от родственных характеристик – центральных моментов порядка q, задаваемых формулой:
Так, дисперсия – это центральный момент порядка 2.
10. Распределение пуассона.
Третье широко используемое дискретное распределение – распределение Пуассона. Случайная величина Y имеет распределение Пуассона, если:
,
где λ – параметр распределения Пуассона, и P(Y=y)=0 для всех прочих y (при y=0 обозначено 0! =1). Для распределения Пуассона:
M(Y) = λ, D(Y) = λ.
Это распределение названо в честь французского математика С.Д.Пуассона (1781-1840), впервые получившего его в 1837 г. Распределение Пуассона является предельным случаем биномиального распределения, когда вероятность р осуществления события мала, но число испытаний n велико, причем np = λ. Точнее, справедливо предельное соотношение:
Поэтому распределение Пуассона (в старой терминологии «закон распределения») часто называют также «законом редких событий».
Распределение Пуассона возникает в теории потоков событий (см. выше). Доказано, что для простейшего потока с постоянной интенсивностью Λ число событий (вызовов), происшедших за времяt, имеет распределение Пуассона с параметром λ = Λt. Следовательно, вероятность того, что за время tне произойдет ни одного события, равна e-Λt, т.е. функция распределения длины промежутка между событиями является экспоненциальной.
Распределение Пуассона используется при анализе результатов выборочных маркетинговых обследований потребителей, расчете оперативных характеристик планов статистического приемочного контроля в случае малых значений приемочного уровня дефектности, для описания числа разладок статистически управляемого технологического процесса в единицу времени, числа «требований на обслуживание», поступающих в единицу времени в систему массового обслуживания, статистических закономерностей несчастных случаев и редких заболеваний, и т.д.
Описание иных параметрических семейств дискретных распределений и возможности их практического использования рассматриваются в обширной (более миллиона названий статей и книг на десятках языков) литературе по вероятностно-статистическим методам.