6. Числовые характеристики случайных величин.

Числовыми характеристиками случайных величин являются математическое ожидание и дисперсия, а так же и моменты случайных величин

Математическое ожиданием М(Х) называется средняя величина возможных значений случайных величин, взвешенных по их вероятности. Выражается формулой:

Свойство 1. Мат. ожидание постоянной равно этой постоянной.

Свойство 2. Мат. ожидание суммы случайных величин равно сумме их мат. ожиданий:

Из этого свойства следует следствие:

Математическое ожидание суммы конечного числа случайных величин равно сумме их математических ожиданий:

Свойство 3. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин Х и Yравно произведению математических ожиданий этих вел. M(XY)=M(X)·(M)Y.

Следствие. Постоянный множитель можно вынести за знак математических ожидания: М(сХ) = сМ(Х)

Дисперсией называется математическое ожидание квадрата отклонения случайных величин от математического ожидания:

D[Х]=M[X-M(X)]²

Свойство 1. Дисперсия постоянной величины равна нулю.

Свойство 2. постоянную величину можно вынести за знак дисперсии, предварительно возведя ее в квадрат:

D(cX) = c²D(X)

Свойство 3. Дисперсия суммы независимых случайных величин Х и Y равна сумме их дисперсий:

D(X+Y) = D(X) + D(Y), от сюда следствие:

если х₁, х₂, ..., х_n  - случайные величины, каждая из которых независима от суммы остальных, то

D(X₁+X₂+...+X_n) = D(X₁) + D(X₂)+...+D(X_n).

Моментом k-порядка называется математическое ожидание k-й степени отклонения случайнойвеличины Х от некоторой постоянной с.

Если в качестве с берется нуль, моменты называются начальными

ν_k = М(Х)^k

Если с = М(Х), то моменты называются центральными

μ = M[X – M(X)]^k

 

7. Характеристики центра распределения.

Для определения средних или наиболее типичных значений совокупности используются показатели центра распределения. Основные из них — математическое ожидание, среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее гармоническое, степенные средние, взвешенные средние, центр сгиба, медиана, мода.

Расчёт средних величин производится разными способами, и, соответственно, применение их тоже зависит от исследуемой совокупности.

У симметричного одномерного унимодального распределения математическое ожидание, медиана и мода одинаковы.

Математическое ожидание:

Преимущества: если эксперимент повторяется многократно, а результаты суммируются (например, в страховании, азартных играх), математическое ожидание — естественный выбор.

Недостатки: не соответствует интуитивному пониманию «среднего»; меньшинство с аномальными значениями (долгожители, миллиардеры, бракованные изделия и т. д.) серьёзно смещают матожидание. В статистических расчётах рекомендуется отбрасывать такой «хвост».

Медиана:

Преимущества: Медиана согласуется с интуитивным пониманием «среднего». К тому же, даже очень «дикие» выбросы изменяют медиану незначительно. Например, если к сотне бедняков (доходы равномерно распределены от 0 до 1 $) добавить одного миллиардера (1 млрд $), среднее сместится от 0,5 $ до 10 млн $, в то время как медиана — от 0,5 $ до 0,505. Монотонная функция не изменяет медиану — для любой монотонной   будет выполняться  .

Недостатки: плохо работает для многомерных распределений со сложной взаимосвязью компонентов. Сложна в расчёте.

Мода:

Мода — точка, в которой плотность распределения имеет локальный максимум. Распределение может иметь несколько мод.

Преимущества: позволяет работать с данными нечисловой природы.

Недостаток: не учитывает поведение распределения в других точках.