3. Ряд распределения случайной величины. Многоугольник распределения.

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Про случайную величину мы будем говорить, что она подчинена данному закону распределения.

Установим форму, в которой может быть задан закон распределения прерывной случайной величины  . Простейшей формой задания этого закона является таблица, в которой перечислены возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности:

Такую таблицу мы будем называть рядом распределения случайной величины  .

Чтобы придать ряду распределения более наглядный вид, часто прибегают к его графическому изображению: по оси абсцисс откладываются возможные значения случайной величины, а по оси ординат – вероятности этих значений. Для наглядности полученные точки соединяются отрезками прямых. Такая фигура называется многоугольником распределения (рис. 5.1.1). Многоугольник распределения, так же как и ряд распределения, полностью характеризует случайную величину; он является одной из форм закона распределения.

Рис. 5.1.1.

4. Функция распределения случайной величины и ее свойства.

Строго понятие "случайная величина" определяется так:

Пусть имеется пространство элементарных событий U, на нем построено поле событий и для каждого события А из этого поля определена вероятность Р(А). Каждому элементарному событию gi из U сопоставим число ξi. Потребуем, чтобы для любого х (-∞ < x < +∞) множество А тех g, для которых ξ < x , принадлежало полю событий, т.е. для него определена вероятность Р{ξ < x} = P(A) = F(x). Тогда ξ называется случайной величиной, а F(x) - ее функцией распределения.

Проще можно сказать, что случайная величина - это величина, значение которой зависит от случая, если для всех х известна функция распределения F(x), т.е. вероятность того, что это значение меньше х.

Имеют место следующие общие свойства функций распределения:

1. F(-∞) = 0

2. F(+∞) = 1

3. F(x) - не убывающая функция х

5. Плотность распределения случайной величины и ее свойства.

В качестве закона распределения, имеющего смысл только для непрерывных случайных величин существует понятие плотности распределения или плотности вероятности.

Вероятность попадания непрерывной случайной величины X на участок от x до x+Dx равна приращению функции распределения на этом участке:

P{x£ X <x+Dx}=F(x+Dx) - F(x).

Плотность вероятности на этом участке определяется отношением

(5.6)

Плотностью распределения (или плотностью вероятности) непрерывной случайной величины X в точке x называется производная ее функции распределения в этой точке и обозначается f(x). График плотности распределения называется кривой распределения.

Основные свойства плотности распределения:

1. Плотность распределения неотрицательна:  f(x) ³ 0.

Это свойство следует из определения f(x) – производная неубывающей функции не может быть отрицательной.

2. Условие нормировки:  Это свойство следует из формулы (5.8), если положить в ней x=∞.

Геометрически основные свойства плотности f(x) интерпретируются так:

-вся кривая распределения лежит не ниже оси абсцисс;

-полная площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.