10 Июня, решая задачу Скутина

№23.

Условие: треугольник ABC. Из середин сторон AB и BC- D и F соответственно восстановлены перпендикуляры к ним, пересекающие сторону AC в точках E и G соответственно. Центр описанной окружности O соединён с вершинами A и C. Точки пересечения прямых BE и BG с радиусами OA и OC соответственно- H и I; OB пересекает AC в точке J; IJ и HJ пересекают прямые OD и OF в точках K и L соответственно.

Доказать: OB, KL и DF пересекаются в одной точке. 13 июня.

№24.

Условие: диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке E. С центром в точке E построена окружность так, что они находится внутри треугольника. Из вершин C,D,A проведены касательные к окружности CF,DG, AH; СF пересекает DG в точке I, EI пересекает AD в точке J; прямые AH и CF пересекаются в точке L.

Доказать: отрезок LJ перпендикулярен AD.

19 июня, редакция сентября 2012

№25.

Условие: на сторонах треугольника с периметром p построены произвольные неостроугольные треугольники.

Доказать: периметр треугольника, вершинами которого являются вершины этих треугольников, отличные от вершин данного, меньше 3p/2.

24 июня

№26.

Условие: в треугольнике ABC проведена высота AD, биссектрисы треугольников BDA и CDA- AE и AF соответственно (E принадлежит BD, F- CD).

Доказать: биссектриса угла A проходит через центр описанной окружности EAF.

24 июня

№27.

Условие: на сторонах AB и BC треугольника ABC отмечены их середины- D и E соответственно, к ним проведены серединные перпендикуляры OD и OE (O-центр описанной окружности), они пересекают сторону AC в точках F и G соответственно; на BG взята точка H так, что BF=BH.

Доказать: F,H,G и O лежат на одной окружности.

26 июня, на основе темы 8 ноября 2011

Июль 2012

№28.

Условие: в треугольнике ABC проведены высоты AA1, BB1, CC1, отмечен ортоцентр H; проведена прямая l, параллельная AC, пересекающая отрезок от H до этой же стороны; относительно неё отражён ортоцентр и получена точка H’. Точка пересечения прямой l и высоты CC1- точка D, прямая AH’ пересекает прямую l в точке E, прямая DH’ пересекает прямую AC в точке F, отрезок FB пересекает прямую l в точке J, JH пересекает CE в точке K.

Доказать: JK перпендикулярен BE.

13 июля, Николина Гора

№29. Задача на построение.

Условие: на стороне AB треугольника ABC как на хорде построена окружность; найти такую точку на ней внутри треугольника, чтобы касательная, проведённая к окружности в этой точке, отсекала бы на сторонах BC и AC такие точки D и E, что A,B,D,E лежат на одной окружности

20 июля, Николина Гора

№30.

Условие: чевиана BD в треугольнике ABC, центры описанных окружностей треугольников ABD и CBD- O1 и O2 соответственно, высота BE.

Доказать: площадь четырёхугольника EO1BO2 равна половине площади треугольника ABC.

21 июля, Николина Гора

Август 2012

№31. Условие: угол с вершиной A; на отрезке луча AB как на диаметре построена полуокружность с центром O, пересекающая другой его луч в точке E; из некоторой точки C луча AE проведена касательная к окружности CD. AD пересекает BE в точке F,OD пересекает BE в точке G, СF пересекает AG в точке H, касательная к окружности в точке A пересекает прямую CD в точке I; AG продолжен до пересечения с окружностью в точке J; IH пересекает OJ в точке K;

Доказать: углы AKO и OID равны

12 августа на основе темы 2011

№32.

Условие: равносторонние треугольники ABC и CDE, у которых вершины A,C,E лежат на одной прямой, а все другие вершины лежат по одну сторону от отрезка AE; около треугольников х-описаны окружности, пересекающиеся в точке F. Центры описанных окружностей O1 и O2- соответственно в порядке, в котором треугольники даны в условии.

Доказать: 1)A,F,D лежат на одной прямой; 2) Пусть O1O2 пересекает AD в точке K; тогда AK=BF

13 августа, Москва, до 14:00

№33.

Условие: в треугольнике ABC проведены высоты AA1,BB1,CC1, на окружности, описанной около треугольника ABC, отмечена произвольная точка M (при условии, что она не принадлежит ни одной прямой, содержащей высоту; в последнем случае одна из окружностей вырождается в прямую).

Доказать: окружности, описанные около треугольников MAA1,MBB1 и MCC1, пересекаются в одной точке.

25 августа

№34.

Доказать, что если один из углов треугольника равен p/6, то отрезки, соединяющие центр его окружности Эйлера с концами стороны, противолежащей этому углу, перпендикулярны.

29 августа

Сентябрь 2012

№35.

Условие: вокруг остроугольного треугольника ABC описана окружность; проведены высоты AA1 и BB1, отрезок A1B1 пересекает окружность в точках D и E. BC=a, угол BAC=b, BB1=h0.

Доказать: 1)DE= 2sqrt((a-ho)*(acos^2b+hosin^2b))

1 сентября

№36.

Условие: вокруг треугольника ABC описана окружность с центром O. Через центр описанной окружности проведена прямая, отсекающая на сторонах BC и AC такие точки D и E, что A, B, D, E лежат на одной окружности. BD=a, CD=b.

Найти: радиус окружности.

2 сентября

№37.

Условие: равнобедренный треугольник с углом при общей вершине боковых сторон p/6. Центры описанной окружности и окружности Эйлера- O и E соответственно.

Найти: угол OAE.

4 сентября

№38.

Условие: в треугольнике ABC проведена биссектриса BD, в точке D к стороне AC восстановлен перпендикуляр, на нём выбрана точка E, из которой эта сторона видна под прямым углом.

Доказать: основание биссектрисы треугольника AEC, проведённой из точки E, совпадает с основанием симедианы треугольника ABC. 6 сентября, вечер

№39..

Условие: окружность, хорды BA и BC; известно, что угол ABC= b, а BA+BC= a. Хорда BD, делящая угол ABC пополам.

Найти: длину этой хорды через a и b.

6-7 сентября

№40.

-Условие: в треугольнике ABC проведены высоты AA1, BB1, CC1, построена окружность Эйлера. Из ортоцентра H опущены перпендикуляры на стороны ортотреугольника A1C1, A1B1 и B1C1- K,M и L соответственно, и их основания соединены с вершинами треугольника.

Доказать: окружность, описанная около треугольника, образованного серединами отрезков AL, BK и CM, концентрична окружности Эйлера и содержит её.

7-8 сентября

№41.

Условие: в четырёхугольнике известно, что две противолежащие стороны равны и суммы квадратов противолежащих сторон также равны.

Доказать, что две равных стороны этого четырёхугольника будут видны из точки, равноудалённой от концов одной диагонали на одно расстояние и от концов другой- на другое, видны под прямым углом.

8 сентября

№42.

Условие: вписанный четырёхугольник ABCD; из B и C опущены перпендикуляры на диагонали AC и BD- BE и CF соответственно и на сторону AD- BG и СH соответственно.

Доказать: 1) из того, что прямые  AB, GE и CD пересекаются в одной точке, следует, что AB, HF, CD также пересекаются в одной точке. 2) 1) выполняется тогда и только тогда, когда прямые AB и CD перпендикулярны.

13 сентября

№43.

Условие: угол A; точка B внутри него; из B проведены лучи, перпендикулярные лучам угла A и пересекающие его соответственно в точках D и E; точка B симметрично отражена относительно лучей, получены точки D’ и E’ соответственно ; D’E’ пересекает лучи в точках F и G в том же порядке; из F и G восстановлены перпендикуляры к лучам угла , пересекающиеся в точке H.

Доказать: A,H,B лежат на одной прямой; гипотеза: прямую D’E’ можно заменить произвольной параллельной прямой.

21 сентября

№44.

Условие: в прямоугольную трапецию ABCD с основаниями BC и AD (BC<AD) и высотой AB можно вписать окружность; пусть её центр- I; прямая DI пересекает AB в точке E.

Доказать: AE=BC.

27 сентября

№45.

Условие: в равнобедренной трапеции ABCD с основаниями BC и AD отмечен центр описанной окружности O. Радиус OC параллелен боковой стороне AB. Прямая DO пересекает сторону AB в точке E.

Доказать: OE=BE.

27 сентября

№46.

Условие: в окружности с центром O проведён диаметр AB; на дуге AB взята её середина C; параллельно AB проведена хорда DE, являющаяся стороной квадрата, вписанного в окружность, CA и CB продолжены до пересечения с прямой DE в точках F и G соответственно.

Найти: угол FOG.

28 сентября

№47.

Условие: прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB и углом B=p/6. Хорды BD и CE, образующие со стороной BC угол p/4. Прямые DE и AC пересекаются в точке F. O-середина AB. Отрезок FO пересекает биссектрису угла A в точке G.

Доказать: AG=AC.

30 сентября

№48.

Условие: прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AC; на гипотенузе AC как на основании построен равнобедренный треугольник ADC, причём градусные меры углов ACB и ADC относятся как 3:2 соответственно. На стороне AC взята точка E, так что AB=AE.

Доказать: отрезки BE и CD параллельны.

30 сентября

№49.

Условие: прямоугольный треугольник ABC с прямым углом B, у которого отношение катетов AB:BC равно 2:1. На BC как на стороне построен квадрат BDEC, точка E отражена симметрией относительно гипотенузы AC, получена точка E’. Катет BC равен a. Центр вписанной окружности треугольника I.

Найти: расстояние IE’.

30 сентября