Февраль 2011

№6.Условие: равнобедренный треугольник ABC (AB=BC). В треугольнике проведены все высоты: AD, BE и CF. Также в прямоугольном треугольнике BEC проведена высота EG.

Доказать: прямые FD и EG пересекаются на описанной окружности треугольника BEC.

3 февраля Москва

№7.Условие: около треугольника ABC описана окружность и середины дуг E, F,G, на которые её разбивают её вершины, попарно соединены. Биссектрисы треугольника ABC продолжены до этих точек. Точки пересечения сторон второго треугольника с ними K,L,M также попарно соединены и через отрезки KL, LM и KM проведены прямые.

Доказать, что они отсекают от сторон треугольника попарно три ромба.

4 февраля Москва

№8.

Условие: квадрат ABCD. Дуга окружности с радиусом, равным стороне квадрата, с центром в точке С, заключённая между сторонами квадрата. К ней проведена произвольная касательная, пересекающая стороны AD и AB в точках E и F соответственно. Диагональ BD. Отрезок CF, пересекающий её в точке G. Прямая EG пересекает сторону BC в точке H.

Доказать: отрезки CF и EH перпендикулярны и равны.

9 февраля Москва

№9.Условие: квадрат ABCD. Полуокружность, построенная на стороне AD, как на диаметре.

К ней из точки B проведена касательная BE и через точку касания проведены прямые AE и DE, пересекающие стороны CD и BC в точках K и L соответственно.

Доказать: отрезок KL параллелен диагонали BD.

15 Февраля

№10.Условие: две равных окружности касаются друг друга внешним образом. Через точку касания проведены произвольные перпендикулярные прямые.

Доказать: отрезок, соединяющий точки пересечения этих прямых с окружностями, расположенные по одну сторону от линии центров, параллелен их общей внешней касательной и равен диаметру окружностей.

20 февраля Москва

№11.

Условие: на сторонах квадрата ABCD AB и BC отмечены соответственно середины M и N. Около квадрата описана окружность. Прямые DM и DN пересекают эту окружность соответственно в точках K и L.

Доказать: отрезок KL делится сторонами квадрата на три равных отрезка.

Февраль 2011

Апрель 2011

№12.Условие: окружность с центром O. Хорда AB продолжена до точки C так, что касательный отрезок CD равен AD. Радиус OD пересекает прямую AB в точке E.

Доказать: BE=BC.

18 апреля

№13.Условие: треугольник ABC; описанная окружность с центром O; проведены радиусы её к вершинам. Обозначены центры описанных окружностей полученных треугольников: O1,O2,O3.

Доказать: O является центром вписанной окружности O1O2O3.

20 апреля

№14.Условие: трапеция ABCD- равнобедренная.

Доказать: Z=R(x-y)/b=(x^2-y^2)/2h, где z-расстояние от центра описанной окружности трапеции до точки пересечения диагоналей, x и у- отрезки, на которые она делит их, b-боковая сторона, R-радиус описанной окружности, h-высота.

24 апреля, Москва

Май 2011

№15.Задача на построение.

Условие: равносторонний треугольник, на двух его сторонах отмечены их середины.

Построить центр вневписанной окружности с помощью одной линейки.

19 мая

Май-июнь 2011

№16.Условие: в равнобедренной трапеции ABCD c основаниями AD и BC (меньшее основание) радиус описанной окружности OB параллелен боковой стороне CD.

Доказать: расстояние от центра описанной окружности трапеции до любой диагонали равно половине меньшего основания.

Июнь 2011

№17. Условие: прямоугольный треугольник ABC (B-прямой). Высота AD, биссектриса CE. Пересекаются в точке F.

Доказать: если отрезок AE перенести параллельным переносом так, что A совместится с F, E окажется на гипотенузе.

1 июня 2011

№18.

Условие: треугольник ABC. На его стороне AC отмечено основание биссектрисы угла треугольника B-D. Через это основание и вершину B проведена окружность, касающаяся стороны AC

Доказать: отрезок, соединяющий точки пересечения данной окружности с двумя другими сторонами треугольника, параллелен его стороне AC.

4-5 июня

№19. Условие: треугольник ABC; высота AD; биссектрисы углов, на которые разбивает она угол A, пересекают сторону BC в точках E,F (первая лежит на BD, вторая на CD), около треугольника EAF описана окружность. Окружность пересекает стороны AB и AC в точках G и H соответственно.

Доказать: прямые AD, EH и FG пересекаются в одной точке.

№20.

Четырёхугольник ABCD с диагоналями AC, BD, прямыми углами ABC и ADC. Обладает свойством: биссектриса угла CAB – AE-параллельна стороне CD. Она пересекает диагональ BD в точке F. Из точки F восстановлен перпендикуляр к EF, пересекающий CD в точке G.

Доказать: G-центр описанной окружности треугольника AEС.

17 июня

№21.

Докажите, что в равноугольно-полуправильном шестиугольнике диагонали, соединяющие вершины через две, являются биссектрисами углов, из которых они выходят. Покажите, что их периметр равен периметру данного шестиугольника.

22-24(?) июня