Предисловие автора.

Данная книга представляет собой сборник авторских работ по планиметрии. Работы писались несколько последних лет. Это в подавляющем большинстве авторские задачи. В книге три работы—«От чисел к существованию», представляющей по своей сути вариант учебного пособия, помогающего освоить быстро, но поступенно, несколько уровней научного знания по планиметрии; спецкурс «Об углах и некоторых теоремах, связанных с ними», являющийся лишь подборкой нескольких тем, проанализированных, пусть не очень глубоко и, наконец, монографию «Геометрия частных случаев прямоугольных треугольников», охватывающей пять частных случаев прямоугольных треугольников, причём пятый дан не непосредственно, а в применении конструкции, связанной с пятым частным случаем прямоугольного треугольника. Книга рассчитана на школы с углублённым изучением планиметрии.

Апрель 2015

Работа 1. От чисел к существованию. Глава 1. Окружности, касающиеся внешним образом, с отношением радиусов 1 к 2.

№1.

Условие: две окружности с центрами O и O1 касаются внешним образом. Проведена общая касательная MN. Из O восстановлен перпендикуляр к линии центров, и точка K его пересечения с прямой MN соединена с O1. Оказалось, что O1K-касательная к окружности с центром O.

Найти соотношение радиусов окружностей (меньшей к большей).

№2.

Условие: две окружности с центрами O_1 и O_2, касающиеся внешним образом. Проведены общие касательные AB и DE. Известно, что точка пересечения диагоналей C четырёхугольника O_1ABO_2 лежит на окружности с центром O_1.

Найти: отношение радиусов окружностей.

№3.

Условие: в окружности проведена хорда AB, меньшая диаметра, в полученные сегменты вписаны окружности. I-центр меньшей из них. Известно, что прямая AI и касательная из точки A к большей окружности перпендикулярны.

Найти отношение радиусов.

№1.

Обозначим пересечение O_1M и первой окружности как P, проведём из O_1 вторую касательную к этой же окружности O_1T. Тогда угол KOT равен углу O_1OT и поэтому угол MOT равен углу KO_1P. Тогда сумма углов MOT и TOP равна 18о градусов, отсюда из свойств прямоугольника следует, что отношение радиусов окружности—1 к 2.

№2. Так как прямые O_1A и O_2B параллельны, треугольник CBO_2—равнобедренный. Тогда OB=OC+CB=O_1OO_2, и поэтому медиана треугольника O_1BO_2—O_1T является его высотой, и поэтому из свойств прямоугольника следует, что отношение радиусов окружностей—1 к 2.

№3. Эта задача решается многими способами. Вот один из них. Пусть точка касания малых окружностей—N, K—точки пересечения отрезкf AO_1 и меньшей окружности, T—точка икасания касательной из A к средней окружности. Тогда угол KNT равен 90 градусов, следовательно, четырёхугольник AKNT—вписанный. Пусть луч KN пересекает среднюю окружность во второй точке P. Тогда несложно доказать, что треугольник KPT—равнобедренный. Далее, проведена касательную из точкм P к наименьшей окружности, можно, проводя похожее с прелдыдущими рассуждение, заключить, что отношение радиусов окружностей—1 к 2.

Глава 2. Магия формул.

№4.

Условие: остроугольный равнобедренный треугольник ABC с основанием AC, проведена средняя линия треугольника с концами E и F на стороных AB и AC. Высота треугольника CD пересекаются в точке L. AD=a, CD=h, угол DCB равен b.

Доказать: CL=(a*\tg{b}+h)/2.

№5.

Условие: равнобедренная трапеция ABCD с основаниями BC и AD, причём AB=AD=CD. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K.

Доказать: cos K=(AD-BC)/2

№6.

Условие: равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с прямым углом B. Биссектрисы AD и CE. Радиус описанно окружности трапеции CDEA равен R, а радиус вписанной окружности треугольника равен r.

Доказать: CE(CE-CD)=2Rr

№7.

Условие: на катете BC прямоугольного треугольника ABC с гипотенузой AC построена полуокружность, так что вся её часть, кроме точек B и C, лежит внутри угла ABC.

Доказать: окружности, вписанные в треугольники ABC и BEC, где E- точка на полуокружности, касаются тогда и только тогда, когда AC=CE+AB.

№8.

Условие: прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AC. Медиана AD, на неё из точки B опущен перпендикуляр BE. Угол C равен a.

Доказать: EC=BE/sina.

№9.

Условие: в окружности проведён диаметр AB и хорда CD, пересекающая его в точке E под данным углом. Из точки A опущен перпендикуляр AK на CD, а из точки B--перпендикуляр BL на этот же отрезок.

Доказать: величина СE^2+ED^2+2(LE*KE-BL*AK) не зависит от выбора хорды CD.

№4. Продолжим прямую СD до пересечения с прямой, проходящей через точку A и параллельной BС, в точке P. По свойству трапеции, точки E, L, F лежат на одной прямой. Ясно, что CP=a*tgb+h, тогда CL=(a*tgb+h)/2, ч.т.д.

№5. Обозначим середины диагоналей AC и BD трапеции как K и L. Известно, что (AD-BC)/2=KL. С другой стороны, AD*cosK=KL. Отсюда cosK=(AD-BC)/2, ч.т.д.

№6. Эту формулу легко рассчитать. Поэтому автор ограничивается указанием: нужно использовать свойство бисскетрисы треугольника, формулу радиуса вписанной окружности для равнобедренного прямоугольного треугольника и усиленную теорему синусов.

№7. Указание: выразите длины отрезков CP и BT через стороны треугольгиков BEC и ABC, затем проверьте, что выполняется равенсто BC-BT-CP=r_1+r_2.

№8. BD^2=ED*AE=CD^2, поэтому угол ECA равен углу EAC. Из этого нетрудно вывести, что углы С и DEC равны. Опустим из т очки C перпендикуляр CF на прямую AD. Из равенства треугольников BED и CFD следует, что BE=CD, поэтому CE=BE/sina, ч.т.д.

№9. Проведём хорду PQ, симметричную хорде CD относитльно хорды AB. Ясно, что верны равенства CE*DE=AE*BE (1), AE*BE*sin^2{a}=CE*DE*sin^2{a} (2), AE*BE*cos^2{a}=CE*DE*cos^2{a}(3). Вычтя первое из второго, получим постоянную величину CQ=DP, т.к. CE^2+DE^2-2CE*DE*cos2a—постоянная величина, а cos{2a}=cos^2{a}-sin^2{a}.