2 Дисперсійний аналіз в регресії

2.1 Мета роботи

Метою роботи є вивчення основних етапів дисперсійного аналізу і застосування його при аналізі рівнянь парної лінійної регресії.

2.2 Основні положення

У основі дисперсійного аналізу лежить дисперсійна тотожність:

, (2.1)

де - загальна варіація ознаки відносно вибіркового середнього ; - варіація значень біля їх середнього ; - залишок.

Значення , і обчислюються у відповідності з формулами:

; (2.2)

; (2.3)

, (4.4)

де ; ; , .

Таким чином, загальна варіація ознаки відносно вибіркового середнього може бути розкладена на дві, що складають: - сума квадратів відхилень, яку можна пояснити лінійним впливом зміни змінною , або пояснена частина; - частина варіації значень змінних , яка не з'ясована знайденої за допомогою методу найменших квадратів її залежністю від , або непояснена частина.

У розгорненому вигляді співвідношення (3.1) можна записати:

= + . (2.5)

Дисперсійний аналіз проводиться по схемі, наведеній в таблиці 3.1.

Таблиця 2.1 Схема дисперсійного аналізу

Джерела варіації	Сума квадратів відхилень	Ступені свободи	Середнє квадратів відхилень
		1	/1
Залишок		(n-2)	/(n-2)
Загальна варіація	=	(n-1)

Пояснена і непояснена частини суми квадратів відхилень можуть бути отримані, відповідно, за формулами:

; (2.6)

(2.7)

Методами дисперсійного аналізу перевіримо гіпотезу про відсутність лінійного зв'язку між змінними і : .

Критерій перевірки має вигляд:

, (2.8)

задовольняє розподілу Фішера з і ступенями свободи.

Значення критерію, що спостерігається, дорівнюватиме:

= . (2.9)

За таблицею розподілу Фішера (див. Додаток Б, табл.Б.2) по вибраному рівню значущості і числам ступенів свободи і знаходимо критичне значення критерію .

Якщо > , то гіпотеза відхиляється при заданому рівні значущості , якщо < - приймається при заданому рівні значущості .

Перевірка гіпотези за допомогою дисперсійного аналізу еквівалентна перевірці гіпотези про значущість параметра і перевірці гіпотези про значущість коефіцієнта кореляції .

2.3 Завдання на самостийну роботу

Вивчити основні етапи дисперсійного аналізу.

Виписати розрахункові формули для обчислення

2.4 Порядок виконання роботи

Скласти програму однiєю з алгоритмічних мов та вiдлагодити її.

Зробити розрахунки, вказані в табл. 3.1.

Методами дисперсійного аналізу перевірити гіпотезу про відсутність лінійного зв'язку між змінними і : , задаючи рівень значущості =0.005.

Заповнити таблицю дисперсійного аналізу.

Зробити висновки про наявність лінійного зв'язку між змінними X і Y.

Показати еквівалентність перевірки гіпотези за допомогою дисперсійного аналізу перевірці гіпотези про значущість параметра і перевірці гіпотези про значущість коефіцієнта кореляції .

2.5 Індивідуальні завдання

По вибірках реалізації випадкових величин X і Y об'ємом n=30 зробити дисперсійний аналіз.

Вибірка випадкової величини X має загальний вигляд для всіх варіантів і включає значення:

X={9,8; 15,4; 8,6; 7,6; 10,2; 12,6; 6,6; 10,3; 6,3; 14,8; 11,1; 10,6; 7,3; 12,2; 8,4; 12,7; 7,9; 13,0; 11,5; 13,0; 9,4; 7,2; 11,3; 10,7; 18,5; 13,0; 5,9; 9,3; 10,1; 7,1}.

Вибірка випадкової величини Y для кожного варіанту індивідуального завдання наведена в табл. A.1(див. Додаток А).

2.6 Контрольні запитання і завдання

1. Для чого служить дисперсійний аналіз?

2. Які основні етапи дисперсійного аналізу?

3. Наведіть формулу дисперсійної тотожності.

4. Що таке сума квадратів відхилень?

5. Що таке пояснена сума квадратів відхилень?

6. Що таке непояснена частина суми квадратів відхилень?

7. Що являє собою схема дисперсійного аналізу?

8. Яка гіпотеза перевіряється за допомогою дисперсійного аналізу?

9. Наведіть порядок перевірки гіпотези про наявність лінійного зв'язку.

10.Наведіть формулу для обчислення значення критерію, що спостерігається.

11. Як визначається критичне значення критерію?

12. Як користуватися таблицею розподілу Фішера?