4. Закон збереження імпульсу

Перетворимо (2.1) наступним чином:

або (2.11)

Назвемо імпульсом системи м.т. векторну суму iмпульсiв окремих м.т. системи: Одержимо:

(2.11')

Нагадаємо, що (2.1) було записано для ізольованої системи двох матеріальних точок.

Отже, повний імпульс ізольованої системи двох м.т. залишається сталим.

Це твердження (i рівняння (2.11) чи (2.11')) називають законом збереження імпульсу для ізольованої системи двох м.т.

Розглянемо тепер систему, що складається з N м.т. Для кожної м.т. запишемо рівняння руху (2.5):

де - внутрiшнi сили, - зовнiшнi сили. Додамо ці рівняння, враховуючи, що внутрiшнi сили згідно третього закону Ньютона зустрічаються попарно i їх векторна сума дорівнює нулю:

;

В дужках стоїть імпульс системи м.т., тому:

(2.12)

(2.12) - це другий закон Ньютона для системи м.т.

Для замкнутої системи тому і

Імпульс ізольованої системи м.т. зберігається, тобто залишається сталим в часі.

Імпульс зберігається i для незамкнутої системи, якщо .

Якщо сума зовнiшнiх сил не дорівнює нулю, але проекція цієї суми на деякий напрямок рівна нулю, то зберігається складова імпульсу в цьому напрямку (тобто проекція імпульсу на цей напрямок):

і

Імпульс системи м.т. може бути представлений у вигляді добутку сумарної маси системи м.т. на швидкість руху центра мас системи:

(2.13)

Центром мас системи називають таку точку C, положення якої задається радiус-вектором :

(2.14)

Для твердого тіла: .

Продиференцiюємо (2.14) за часом i одержимо (2.13):

Підставимо (2.13) в (2.12) :

, або (2.15)

Центр мас системи м.т. рухається як матеріальна точка, маса якої дорівнює сумарній масі всієї системи, i на яку діє сила, що дорівнює геометричній сумі всіх зовнiшнiх сил, що діють на систему.

Це твердження називають теоремою про рух центра мас.

Для ізольованої системи :

Центр мас ізольованої системи або нерухомий, або рухається рiвномiрно i прямолiнiйно.

Якщо початок вiдлiку помістити в центр мас (система вiдлiку залишиться iнерцiальною, оскільки ), то , і

Центр мас є точка простору, відносно якої повний імпульс ізольованої системи дорівнює нулю.

5. Реактивний рух.

Розглянемо рух тiла зі змінною масою. Мається на увазі не релятивістська залежність маси тiла вiд швидкості, оскільки мова йтиме про відносно повільний рух тiл, а зміна маси тiла за рахунок втрати чи поповнення ним речовини.

Один з прикладів такого руху - рух ракети. Ракета з великою швидкістю викидає речовину (гази), діючи на неї з великою силою. Речовина, що викидається, з такою ж, але протилежно направленою силою в свою чергу діє на ракету i надає їй прискорення в протилежному напрямі. Якщо зовнiшнiх сил немає, то імпульс системи "ракета - викинута речовина" не змінюється з часом.

Розглянемо загальний випадок, коли на ракету діють зовнiшнi сили. Нехай m(t) - маса ракети в довільний момент часу t , а - її швидкість. Імпульс ракети в цей момент часу дорівнює . Через час dt маса i швидкість одержать прирости i . Імпульс ракети тепер дорівнює . Імпульс газів, що утворилися за цей же час dt, дорівнює dm_{газ газ} , де dm_газ - маса газів, _газ - їх швидкість. Приріст імпульсу ракети дорівнює імпульсу рiвнодiйної зовнiшнiх сил (див. (2.12)):

(m + dm)( + d ) + dm_{газ газ} - m = dt.

Розкриємо дужки:

m + md + dm + dm·d + dm_{газ газ} - m = dt

Оскільки dt - мала величина ( dt 0 ), то dm·d - нескінченно мала величина вищого порядку i її можна відкинути; dm_газ = - dm згідно закону збереження маси. Після перетворень одержимо:

m d - dm( _газ - ) = dt

Різниця _газ - = _відн - це швидкість витікання газів відносно ракети; її називають швидкістю газової струмини (див.рис.2.3).

(Якщо ракету взяти за нерухому СВ то слід вважати що оточуюче середовище рухається зі швидкістю _{відн газ срр}; _{відн газ} ).

Отже:

= dt+ (2.16)

Розділимо (2.16) на dt :

(2.17)

За формою (2.17) співпадає з рівнянням другого закону Ньютона. Однак маса тут не постійна, а змінюється з часом. До зовнішньої сили додається член , який носить назву реактивної сили:

(2.18)

Якщо маса вiддiляється, то < 0 i вектор протилежний вектору _відн ; якщо маса приєднується, то > 0 i вектор співпадає за напрямком з _відн .

Рівняння (2.17) i еквівалентне йому рівняння (2.16) називають рівнянням руху точки iз змінною масою або рівнянням Мещерського (Мещерський I.В. (1859 - 1935)).

Якщо = 0, то з (2.16) одержимо:

Нехай ракета рухається в напрямку, протилежному . Спроектуємо останню рiвнiсть на вісь OY (див. рис. 2.4):

mdv = - v_відн dm;

(2.19)

Будемо вважати, що v_відн стала; тодi розв`язування рівняння (2.19) спрощується:

(2.20)

Значення C визначимо з початкових умов (якщо v₀ = 0, то початкова маса дорівнює m₀), якi пiдставимо в (2.20):

, звiдки .

Таким чином: або . Остаточно:

(2.21)

(2.21) називають формулою Ціолковського (К.Е. Цiолковський (1857-1935)).

(Застосування (2.21) до польотів космічних ракет дає наступні значення відношень . При v_відн=1 км/c для v₁=8 км/c матимемо що нереально (потрібні кращі сорти палива). При v_відн=4 км/c (політ в одну сторону)).