4. Рух точки по колу

Рух матеріальної точки по колу є окремим випадком криволіній­ного руху. Розглядаючи такі величини, як швидкість , прискорення , радіус-вектор , питання про вибір їхнього напряму не виникало, оскільки воно витікало з їхньої природи. Подібні вектори називають полярними. Вектори типу dφ, напрям яких пов'язаний з напрямом обертання, називають аксіальними. У цьому разі кут можна розгляда­ти як вектор. Для дуже малих кутів повороту∆φ, оскільки шлях, що проходить матеріальна точка при такому малому повороті, можна роз­глядати як прямолінійний. Величину

де ∆t — час, за який здійснюється поворот на кут ∆φ, називають кутовою швидкістю точки. Вектор со напрямлений вздовж осі, навколо якої обертається тіло. Напрям обертання визначається за правилом правого гвинта. Кутова швидкість — це аксіальний вектор. Модуль вектора кутової швидкості дорівнює . Обертання зі сталою куто­вою швидкістю називають рівномірним, при цьому . Отже, при рівномірному обертанні со показує, на який кут повертається ті­ло за одиницю часу.

Рівномірний рух можна характеризувати періодом Т. Це час, про­тягом якого тіло робить один оберт, тобто повертається на кут 2π. Оскільки проміжку часу ∆t = Т відповідає кут φ= 2π то

Частота періодичного процесу

Тоді

Вектор може змінюватись як внаслідок зміни швидкості обертання тіла навколо осі (у цьому разі він змінюється за величиною), так і за рахунок повороту осі обертання в просторі (у цьому разі змінюється за напрямом). Нехай за час ∆t вектор дістав приріст ∆ . Зміну век­тора кутової швидкості з часом характеризують кутовим прискоренням

Вектор , як і , е аксіальним.

Якщо напрям осі обертання в просторі залишається сталим, то кутова швидкість змінюється лише за величиною, і . У цьому разі з формули (1.17) дістаємо

Вираз (1.18) запишемо у векторній формі

де — алгебраїчна величина, яка додатна, якщо со з часом збільшується (у цьому разі вектори та мають однаковий напрям), і від'ємна, якщо со зменшується (у цьому разі напрями (5 та со протилежні). Лінійна швидкість v визначається кутовою швидкістю обертання тіла та відстанню г матеріальної точки від осі обертання. Нехай за малий проміжок часу ∆t тіло повертається на кут ∆φ. Точка, яка знаходиться на відстані г від осі, проходить при цьому шлях

Лінійна швидкість точки

У векторній формі . Отже, чим далі знаходиться точка від осі обертання, тим з більшою лінійною швидкістю вона рухається.

Знайдемо зв'язок модулів лінійного та кутового прискорення, покладаючи, що r=const. Тоді, виходячи з (1.19), запишемо

отже

При рівномірному русі точки по колу модуль швидкості залишається сталим, але напрям її безперервно змінюється. Розглянемо два вектори швидкості тіла через невели­кий проміжок часу ∆t. Віднімаючи перше значення швидкості , від наступного , дістанемо приріст

(рис. 1.3). За загальним правилом дії над векторами можна пере­нести початок векторів швидкості в одну точку (паралельний перенос). Напрям цих векторів збігається з напрямом дотичної до кола в тій точці, де лежить точка в даний момент. Вектор не буде перпендикулярним ні до , ні до . Проте при ∆t→0 і →0 напрям вектора стає перпендикулярним до вектора швидкості .

Отже, нескінченно малий приріст вектора перпендикулярнийдо вектора , тому прискорення - перпендикулярне до швидкості і напрямлене до центра кола. Значення прискорення можна пов'язати із значенням швидкості руху тіла по колу й значенням радіуса . При малому ∆φ

де — одиничний вектор, напрям якого збігається з напрямом вектора . Підставляючи в (1.23) ∆φ з (1.20), дістанемо

Розділивши на ∆t і зробивши відповідні перетворення, дістанемо

У цьому виразі v та r — сталі, відношення — в граничному випадку дає модуль швидкості у; одиничний вектор в граничному випадку збігається з одиничним вектором , який перпендикулярний до кола в точці А і напрямлений до центра. Отже,

Знайдене прискорення напрямлене вздовж нормалі до траєкторії, тобто воно є нормальним.

Якщо матеріальна точка рухається по колу нерівномірно, то крім нормального (його у випадку руху по колу називають ще доцентровим) вона матиме тангенціальне прискорення

яке характеризує зміну швидкості за величиною. Враховуючи вираз (1.21), для тангенціального прискорення дістанемо

О тже, тангенціальне прискорення зростає лінійно із збільшенням відстані від осі обертання. Остаточно для вектора прискорення (рис. 1.4) запишемо