18. Понятие лотереи. Полезность по Нейману. Ожидаемая полезность.

Лотерея - игра, которая проводится в соответствии с договором и в которой одна сторона (организатор лотереи) проводит розыгрыш призового фонда лотереи, а вторая сторона (участник лотереи) получает право на выигрыш, если она будет признана выигравшей в соответствии с условиями лотереи. Договор между организатором лотереи и участником лотереи заключается на добровольной основе и оформляется выдачей лотерейного билета, квитанции, другого документа или иным предусмотренным условиями лотереи способом

Теория ожидаемой полезности основывается на четырех аксиомах:

Аксиома полноты. Для любых A, B должно выполняться соотношение A > B, B > A или A = B

Аксиома транзитивности. Если A > B, B > C, то A > C

Аксиома независимости. Предположим, что A > B и p \in (0;1], тогда для любого C pA + (1- p)C > pB + (1- p)C

Аксиома протяженности. Предположим, что A > B > C, тогда B можно представить в виде pA + (1- p)C, где p \in (0;1] В экономике, теории игр, теории принятия решений теория ожидаемой полезности — помогает с помощью неопределенности оценить полезность блага с точностью до положительного аффинного преобразования.

В 1944 году вышла монография Джона фон Неймана и Оскара Моргенштерна «Теория игр и экономическое поведение», в которой авторы обобщили и развили результаты теории игр и предложили новый метод для оценки полезности благ. дним из важных выводов теории ожидаемой полезности является то, что рациональный индивид должен максимизировать ожидаемую полезность.

Функция ожидаемой полезности аддитивная. Функционал риска является линейным, таким образом полезность фон Неймана — Моргенштерна для n благ можно представить в виде U = \sum_{i=1}^n p_i U(x_i). Причем \sum_{i=1}^n p_i = 1

ОЖИДАЕМАЯ ПОЛЕЗНОСТЬ

Средний уровень ожидаемой полезности будущего потребления или владения активами в условиях, когда известно лишь распределение возможных значений этой полезности. Если х обозначает потребление, f(x) – эмпирическую плотность распределения потребления и U(x) – уровень полезности для данного х, ожидаемая полезность равна ЕU(x). Если полезность является линейной функцией от х, тогда EU(x)=UE(x), т. е., ожидаемая полезность равна полезности ожидаемого значения потребления. Если полезность – вогнутая функция от потребления, т. е. d2U/dx2<0, где значение х является неопределенной величиной, тогда ожидаемая полезность меньше полезности ожидаемого потребления: EU(x)<UE(x), причем разность между двумя величинами требует премии за риск.

19. Детерминированный эквивалент лотереи. Страховая сумма.

Детерминированный эквивалент лотереи. Страховая сумма

Взаимосвязь риска с полезностью определяется понятием детерминированного эквивалента лотереи.

Детерминированный эквивалент лотереи L — это гарантированная сумма , получение которой эквивалентно участию в лотерее и гарантирует ЛПР такую же самую полезность, как и участие в рискованном деле, то есть ~ L. т.е. определяется из равенства:или ,

где U-1— функция, обратная к функции U(х).

Премию (надбавку) за риск в лотереи определяют как разницу между ожидаемым выигрышем и детерминированным эквивалентом.

По своему физическому смыслу премия за риск (надбавка за риск) p (Х) — это сумма (в единицах измерения критерия х), которой ЛПР согласен пожертвовать (уступить ее) из среднего выигрыша (т.е. эта сумма меньше, чем математическое ожидание выигрыша), чтобы избежать риска, связанного с лотереей, и получить гарантированный доход.

Перед ЛПР может стать проблема, которая состоит в том, что ЛПР стремится отказаться от лотереи, которая менее привлекательная, чем состояние, в котором пребывает ЛПР. В этом случае возникает вопрос, сколько б ЛПР заплатил (в единицах измерения), чтобы не участвовать в лотереи (избежать ее). Эту величину называют страховой суммой.

Страховой суммой (СС) называют величину детерминированного эквивалента, взятую с противоположным знаком:

СС(Х) = - .