4.1.2. Теорема о движении центра масс механической системы.

Теорема. Центр масс механической системы движется как материальная точка, масса которой равна массе всей системы и к которой приложены все внешние силы, действующие на систему, то есть

.

Здесь —главный вектор внешних сил.

Проектируя обе части этого векторного равенства на координатные оси, получим:

,

,

,

где , , —проекции силы ;

, , —проекции главного вектора внешних сил на оси координат.

Уравнения —дифференциальные уравнения движения центра масс механической системы в проекциях на декартовые оси координат.

Из уравнений следует, что только одними внутренними силами нельзя изменить характер движения центра масс механической системы. Внутренние силы могут оказывать косвенное влияние на движение центра масс только через внешние силы. Например, в автомобиле внутренние силы, развиваемые двигателем, влияют на движение центра масс через силы трения колес с дорогой.

4.1.3. Законы сохранения движения центра масс

(следствия из теоремы).

Из теоремы о движении центра масс можно получить следующие следствия.

Следствие 1.Если главный вектор внешних сил, действующих на систему, равен нулю, то её центр масс находится в покое или движется прямолинейно и равномерно.

Действительно, если главный вектор внешних сил , то из уравнения (4.2):

, .

Если, в частности, начальная скорость центра масс , то центр масс находится в покое. Если же начальная скорость , то центр масс движется прямолинейно и равномерно.

Следствие 2. Если проекция главного вектора внешних сил на какую-либо неподвижную ось равна нулю, то проекция скорости центра масс механической системы на эту ось не изменяется.

Это следствие вытекает из уравнений (4.3). Пусть, например, , тогда

,

отсюда . Если при этом в начальный момент , то:

, ,

то есть проекция центра масс механической системы на ось в этом случае не будет перемещаться вдоль оси . Если же , то проекция центра масс на ось движется равномерно.

4.2 Количество движения точки и системы.

Теорема об изменении количества движения.

4.2.1. Количество движения точки и системы.

Определение. Количеством движения материальной точки называется вектор, равный произведению массы точки на её скорость , то есть

.

Вектор коллинеарен вектору и направлен по касательной к траектории материальной точки (рис.19).

Количество движения точки в физике часто называют импульсом материальной точки.

Размерность количества движения в СИ—кг·м/c или Н·с.

Определение. Количеством движения механической системы называется вектор , равный векторной сумме количеств движений (главный вектор количеств движений) отдельных точек, входящих в систему, то есть

Проекции количества движения на прямоугольные декартовые оси координат:

; ;

Вектор количества движения системы в отличие от вектора количества движения точки не имеет точки приложения. Вектор количества движения точки приложен в самой движущейся точке, а вектор является свободным вектором.

Лемма количеств движения. Количество движения механической системы равно массе всей системы, умноженной на скорость её центра масс, то есть

Доказательство. Из формулы (4.1), определяющей радиус-вектор центра масс, следует:

.

Возьмем от обеих частей производную по времени

, или .

Отсюда получим , что и требовалось доказать.

Из формулы (4.8) видно, что если тело движется так, что его центр масс остается неподвижным, то количество движения тела равно нулю. Например, количество движения тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр масс (рис.20),

, т.к.