I. Динамика точки
Динамикой
называется раздел теоретической
механики, в котором изучается движение
материальных тел под действием сил. При
первоначальном изучении динамики вводят
абстрактное понятие о материальной
точке –
теле, размерами которого можно пренебречь.
В дальнейшем материальную точку будем
обозначать буквой
,
понимая под буквой
данную материальную точку и массу этой
точки. В основу динамики положена система
законов (аксиом), справедливость которых
подтверждается в практической
деятельности, в развитии техники.
Основные законы динамики впервые
достаточно четко были сформулированы
И. Ньютоном в его знаменитом труде
“Математические начала натуральной
философии”(1687 г.).
1.1. Законы динамики (законы Галилея-Ньютона)
Первый закон (закон инерции). Изолированная материальная точка движется без ускорения, то есть она находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения.
.
Под изолированной материальной точкой понимается материальная точка, на которую не действуют другие тела, то есть не действуют силы. Движение, совершаемое точкой при отсутствии сил, называется движением по инерции.
Второй закон (закон пропорциональности силы и ускорения). Сила, действующая на материальную точку, сообщает ей ускорение, пропорциональное величине силы и имеющее направление, совпадающее с направлением силы:
.
Обычно этот закон записывают в виде
.
Третий закон (закон равенства действия и противодействия). Если одна материальная точка действует на другую материальную точку с некоторой силой, то другая точка действует на первую с силой прямо противоположной (т.е. линии действия сил совпадают, силы численно равны и имеют противоположные направления)
.
Четвертый закон (закон независимости действия сил). Несколько сил, действующих на материальную точку, сообщают ей ускорение, равное геометрической сумме ускорений, которые сообщала ей каждая из сил, действуя в отдельности
,
где
,
,
,
.
Системы отсчета (системы координат), в которых справедливы законы Ньютона, называются инерциальными. При решении большинства задач техники за инерциальную систему отсчета принимают систему координат, связанную с Землей, пренебрегая вращением ее вокруг своей оси. При решении задач астрономии, навигации и управления подвижными объектами, где приходится учитывать вращение Земли, в качестве инерциальной принимают систему координат, связанную со звездами.
1.2. Основное уравнение динамики точки.
Рассмотрим
материальную точку, масса которой
и на которую действуют силы
(рис. 1).
Каждая
из этих сил, действуя на материальную
точку отдельно, сообщает ей ускорения
,
определяемые по второму закону Ньютона:
, ,…, .
Согласно четвертому закону, силы сообщают рассматриваемой точке ускорение
=
.
Умножая обе части равенства на , получаем
,
где
—равнодействующая
всех сил, действующих на рассматриваемую
материальную точку.
Уравнение
называется основным уравнением динамики точки и говорит о том, что несколько сил, действующих на материальную точку, сообщают ей такое же ускорение, как и равнодействующая этих сил.
1.3. Дифференциальные уравнения движения материальной точки.
Используя основное уравнение динамики точки (1.5) можно вывести дифференциальные уравнения движения материальной точки в различных системах координат (при различных способах задания движения точки, рассмотренных в кинематике [1]). Если материальная точка несвободная, то для неё можно получить дифференциальные уравнения движения, как и для свободной материальной точки, добавив к действующим на точку силам, силы реакций связей. В дальнейшем не будем делать различия между свободной и несвободной материальной точкой.
Дифференциальное уравнение движения материальной точки в векторной форме.
Из
кинематики точки известно, что ускорение
выражается через радиус вектор
(рис.2):
.
Дифференциальное уравнение движения материальной точки в векторной форме имеет вид
.
Дифференциальное уравнение в векторной форме эквивалентно трем скалярным уравнениям.
В зависимости от выбора осей координат, на которые проектируется уравнение (1.6), можно получить различные формы скалярных дифференциальных уравнений движения материальной точки.
Дифференциальные уравнения движения материальной точки в декартовых координатах.
Спроектируем обе части уравнения (1.5) или (1.6) на декартовые оси координат (рис.2):
, 
, 
,
где:
—проекции
ускорения на оси координат;
—проекции
сил,
—проекции
равнодействующей сил, действующих на
точку, на те же оси координат.
Из кинематики известно, что
, 
, 
.
Тогда дифференциальные уравнения движения материальной точи в прямоугольной декартовой системе координат имеют вид:
,
,
.
Дифференциальные уравнения движения материальной точки в естественной форме.
Спроектируем
обе части векторного уравнения (1.5) на
оси естественного трехгранника—касательную
,
главную нормаль
и бинормаль
(рис.3).
, 
, 
.
Из
кинематики известно
,
,
,
где
—радиус
кривизны траектории.
Тогда дифференциальные уравнения движения материальной точки в проекциях на естественные прямоугольные оси координат имеют вид
,
,
.
1.4. Две основные задачи динамики точки.
Динамика материальной точки решает две основные задачи.
Прямая, или первая, основная задача—определение сил по заданному движению.
Определить равнодействующую сил , действующих на материальную точку, если задана ее масса и кинематические уравнения движения.
Рассмотрим ход решения прямой задачи при трех, рассмотренных в кинематике, способах задания движения точки.
1. Векторный способ задания движения.
Дано:
масса точки—
,
её движение задано векторным способом,
т.е. задан радиус-вектор
как некоторая векторная функция времени
:
.
Определить: равнодействующую сил, вызвавших это движение точки.
Решение. Вычисляем вторую производную от радиус-вектора по времени
,
и умножаем её на массу точки. В соответствии с дифференциальным уравнением движения в векторной форме (1.6) искомая равнодействующая сил
.
2. Координатный способ задания движения.
Дано: масса точки— , её движение задано координатным способом
, 
, 
.
Определить: равнодействующую сил, вызвавших это движение точки.
Решение. Вычисляем вторые производные от координат по времени
, 
, 
,
и умножаем их на массу точки. В соответствии с дифференциальными уравнениями движения в координатной форме (1.7) проекции искомой равнодействующей на оси координат
, 
, 
.
Модуль равнодействующей сил
,
её направление определяется направляющими косинусами
, 
, 
.
3. Естественный способ задания движения.
Дано: масса точки— , её движение задано естественным способом, т.е. задана траектория движущейся точки, и закон изменения ее криволинейной координаты с течением времени
.
Определить: равнодействующую сил, вызвавших это движение точки.
Решение. Вычисляем производные
, 
,
и в соответствии с дифференциальными уравнениями движения материальной точки в естественной форме (1.8) проекции равнодействующей сил на оси естественного трехгранника
, 
, 
.
Откуда величина и направление равнодействующей сил
, 
, 
.
Обратная, или вторая, основная задача—определение движения по заданным силам.
Определить
кинематические уравнения движения
материальной точки, если заданы ее масса
,
приложенные к ней силы
,
равнодействующая которых
и начальные условия движения. Сила
может зависеть от времени
,
от положения точки в пространстве,
определяемом координатами
,
и от скорости точки, определяемой ее
проекциями на оси координат
.
Тогда дифференциальные уравнения движения (1.7) в общем случае имеют следующий вид
,
,
.
Нахождение
закона движения рассматриваемой точки
сводится к интегрированию системы
(1.9), то есть системы трех дифференциальных
уравнений второго порядка, в которых
неизвестными функциями являются
координаты движущейся точки
,
,
,
а аргументом время
.
При решении практических задач
интегрирование такой системы
дифференциальных уравнений часто
приводит к значительным трудностям и
не может быть выполнено в квадратурах.
В этих случаях систему (1.9) решают
приближенными методами с
помощью ЭВМ.
Предположим, что удалось проинтегрировать систему дифференциальных уравнений и получить ее общее решение
,
,
,
где
— произвольные
постоянные интегрирования.
Если
теперь в этих соотношениях постоянным
интегрирования давать различные числовые
значения, то можно получить совокупность
различных движений. Это говорит о том,
что под действием одних и тех же сил
материальная точка может совершать не
какое-то определенное движение, а целый
класс движений, которые имеют разные
законы при разных значениях постоянных
.
Например, материальная точка, отпущенная без начальной скорости, будет падать под действием силы тяжести вертикально вниз по прямой линии. Эта же точка, брошенная под углом к горизонту, будет двигаться под действием той же силы тяжести (сопротивлением воздуха пренебрегаем) по параболической траектории.
Таким
образом, задания массы материальной
точки и действующих на неё сил, еще
недостаточно для определения конкретного
закона её движения. Для того, чтобы из
многообразия решений (1.10) выбрать то,
которое соответствует решаемой задаче,
нужно задать еще начальные
условия
движения. Начальное состояние движения
материальной точки определяется её
положением и её скорость в начальный
момент времени
.
В декартовой системе координат начальные условия имеют вид:
при
,
,
—начальное
положение точки,
,
,
—начальная
скорость точки.
Аналогично начальные условия можно задать при векторном
и
естественном
способах задания движения точки.
По начальным условиям определяются постоянные интегрирования . Для этого, продифференцировав по времени уравнения (1.10), находим проекции скорости
,
,
.
Подставив
в уравнения (1.10) и (1.13) вместо времени,
координат и проекций скоростей их
начальные значения, определяемые
формулами, получим систему шести
алгебраических уравнений, которые будут
содержать слева известные величины
,
а справа известную величину
и искомые постоянные интегрирования
.
Решив эту систему, определяем значения
постоянных интегрирования, соответствующих
заданным начальным условиям:
.
Заменив
теперь в (1.10) все
их значениями из (1.14), получим решение
системы дифференциальных уравнений
(1.9), удовлетворяющее заданным начальным
условиям в виде
,
,
.
Уравнения определяют закон движения точки под действием заданных сил при данных начальных условиях, то есть дают решение второй задачи динамики точки.
1.6. Прямолинейное движение материальной точки.
Будем предполагать, что материальная точка массы под действием силы (или равнодействующей приложенных сил) совершает прямолинейное движение. Можно показать[2,с.23], что для того, чтобы точка совершала прямолинейное движение, необходимо и достаточно, чтобы действующая на нее сила имела постоянное направление, а начальная скорость точки была или равна нулю, или направлена вдоль силы.
Если
при прямолинейном движении направить
вдоль траектории координатную ось
,
то согласно (1.9) движение материальной
точки описывается одним дифференциальным
уравнением
и начальными условиями
при
,
.
Уравнение (1.16) называют дифференциальным уравнением прямолинейного движения точки.