3. Концентрация электронов и дырок

в собственном полупроводнике

Собственный полупроводник - это идеально чистый полупроводник, в котором под действием температуры или при оптическом возбуждении часть электронов из валентной зоны перебрасывается в зону проводимости, в результате чего образуется равное количество электронов и дырок. При температуре Т = 0 валентная зона полностью заполнена, а зона проводимости - свободна.

В собственном полупроводнике справедливо соотношение . Используя выражения (3.15) и (3.17), можем записать

. (3.19)

Концентрация носителей в собственном полупроводнике оказалась не зависящей от положения уровня Ферми. Она увеличивается с ростом температуры по экспоненциальному закону с энергией активации, равной половине ширины запрещенной зоны, т.е. на каждый из носителей приходится энергия в два раза меньше.

Определим теперь температурную зависимость уровня Ферми в собственном полупроводнике. Для этого воспользуемся уравнением электронейтральности

. (3.20)

Тогда для невырожденного полупроводника получим

. (3.21)

Логарифмируя обе части (2.21) и вычисляя значение энергии Ферми, получим

. (3.22)

Если в (3.22) подставить значения и , то получим

. (3.23)

Из (3.22) и (3.23) видно, что в собственном полупроводнике при Т = 0 уровень Ферми находится точно посередине запрещенной зоны, а с ростом температуры движется к той зоне, в которой меньше эффективная масса носителей.

Из температурной зависимости концентрации носителей можно легко определить ширину запрещенной зоны полупроводника Действительно, прологарифмировав выражение (3.19), получим

. (3.24)

Если учитывать только явную температурную зависимость, то в координатах уравнение (3.24) описывает прямую линию. Тангенс угла этой кривой равен половине ширины запрещенной зоны. Ширина запрещенной зоны может быть найдена из условия

. (3.25)

С ростом температуры из-за смещения уровня Ферми к зоне с легкими носителями полупроводник может из невырожденного превратиться в вырожденный. Вырождение в собственном полупроводнике наступает только в том случае, когда эффективные массы носителей и различаются значительно. Примером такого полупроводника является InSe, в котором .

4. Статистика примесных состояний

в полупроводниках

Содержание донорных или акцепторных примесей изменяет концентрацию носителей заряда в полупроводнике, а значит, и положение уровня Ферми.

Рассмотрим полупровод­ник с одним ти­пом примеси, например, до­норный полупроводник, энер­гетическая схема которого представлена на рис. 3.1. Ог­раничимся областью темпе­ратур, при которых имеет место лишь ионизация при­месных центров, а собствен­ная проводимость отсутствует. Составим уравнение электроней­тральности

, (3.26)

г

Рис. 3.1. Схема электронных состояний донорного и акцепторного полупроводников.

де - концентрация ионизированных доноров, – общее число локальных донорных центров, -кон­центрация электронов на до­норных уровнях. Поскольку переход электронов с донор­ных уровней в зону проводи­мости при ионизации атомов доноров эквивалентен пере­ходу дырок из зоны проводи­мости на донорный уровень, то будет являться концентрацией дырок, занимающих донор­ные состояния.

Число состояний с энергией E_d в единице объема кристалла будет равно концентрации атомов доноров

, (3.27)

где f_n(E_d) – функцию распределения по примесным состояниям, g – так называемый фактор (степень) вырождения примесного уровня. Для одновалентной донорной примеси, для которой примесный уровень двукратно вырожден, g =2. Примесный уровень E_d может принять только один электрон, но этот электрон может быть захвачен двояким образом в зависимости от направления спина.

Тогда концентрация положительных ионов донорной примеси на донорных уровнях

. (3.28)

Если полупроводник невырожденный, то с учетом (3.15) из (3.26) получим

. (3.29)

Рассмотрим сначала область низких температур. Под низкими температурами будем понимать такие, при которых в знаменателе правой части (3.29) можно пренебречь единицей. Это будет при выполнении условия . Тогда из (3.29) получим

, (3.30)

Следовательно, в невырожденном донорном полупроводнике при T = 0 уровень Ферми располагается посередине между E_d и E_c. С повышением температуры E_F сначала приближается к E_с (пока ), проходит через максимум и удаляется от E_с (когда ) (рис. 3.2 а, область I).

а) б)

Рис. 3.2. Изменение положения уровня Ферми (а) и концентрации электронов в зоне проводимости (б) с температурой для донорного полупроводника.

Дальнейшее повышение температуры сопровождается ростом N_c и в области температур, когда , уровень пересекает уровень доноров. Эту область температур называют областью слабой ионизации примеси.

Концентрация электронов в зоне проводимости при низких температурах увеличивается с ростом T по экспоненциальному закону. Действительно, подставив.(3.30) в выражение для концентрации (3.15), получим

. (3.31)

Из (3.31) видно, что в области низких температур зависимость в координатах также описывается прямой линией (рис. 3.2 б, область I), как и в случае собственно проводимости. Из экспериментальных данных в области примесной проводимости можно найти энергию ионизации донорной примеси по наклону кривой

. (3.32)

В интервале более высоких температур концентрация электронов в зоне проводимости не зависит от температуры и равна , что соответствует области истощения донорной примеси. В этой области температурную зависимость уровня Ферми можно установить из условия , откуда с учетом (3.15) имеем

. (3.33) Следовательно, с ростом температуры уровень Ферми удаляется от E_с (рис. 3.2, область II).

При дальнейшем повышении температуры заметный вклад в концентрацию начнут давать электроны, перешедшие в зону проводимости из валентной зоны. При этом становится преобладающей собственная проводимость полупроводника. На рис. рис. 3.2 область III соответствует собственной проводимоти.

Очевидно, что вид зависимости для акцепторного полупроводника с одним типом акцепторов, энергетическая схема которого приведена на рис. 3.1, аналогичен приведенному на рис. 3.2 с заменой E_d на E_а и на соответственно.

Литература

1. Ашкрофт Н., Мермин Н. Физика твердого тела: В 2 т. М.: Мир, 1979.

2. Блейкмор Дж. Физика твердого тела. М.: Мир, 1988.

3. Блат Ф. Физика электронной проводимости в твердых телах. М.: Мир, 1971.

4. Бонч-Бруевич В.Л., Калашников С.Г. Физика полупроводников. М.: Наука, 1977.

5. Брант Н.Б., Чудинов С..М. Электронная структура металлов. Изд-во МГУ, 1973.

6. Горбачев В.В., Спицына Л.Г. Физика полупроводников и металлов. М.: Металлургия, 1976.

7. Гуревич А.Г. Физика твердого тела. СПб.: Невский диалект, 2004.

8. Займан Дж. Принципы теории твердого тела. М.: Мир, 1966.

9. Зеегер К. Физика полупроводников. М.: Мир, 1977.

10. Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. М.: Наука, 1978.

11. Павлов П.В., Хохлов А.Ф. Физика твердого тела. М.: Высш. Шк., 2000.

12. Шалимова К.В. Физика полупроводников. М.: Энергоатомиздат, 1985.

Содержание