Глава 3

Статистика электронов и дырок

в полупроводниках

1. Плотность квантовых состояний в зонах.

Распределение Ферми-Дирака

Предположим, что энергетическая зона имеет единственный минимум в центре зоны Бриллюэна ( ) и что сферические поверхности постоянной энергии в - пространстве распределены вокруг этого минимума по параболическому закону, как того требует скалярная эффективная масса. Тогда для полной энергии электрона в зоне проводимости можно написать

. (3.1)

Выделим шаровой слой в пространстве квазиимпульсов, заключенный между двумя изоэнергетическими поверхностями . Объем этого слоя равен . Объем элементарной ячейки зоны Бриллюэна составляет , где V – объем кристалла. Тогда плотность состояний, учитывая две возможности ориентации спина электрона, равна

. (3.2)

Из (3.1) имеем

; . (3.3)

Поэтому плотность состояний для энергий, не слишком превышающих Е_с, составляет

. (3.4)

Рассматривая по прежнему случай изотропного параболического закона дисперсии, для валентной (дырочной) зоны имеем

. (3.5)

Для плотности состояний вблизи края валентной зоны получим

. (3.6)

Вероятность того, что электрон будет находиться в квантовом состоянии с энергией Е, как известно, выражается функцией распределения Ферми-Дирака

. (3.7)

Тогда вероятность того, данное квантовое состояние не занято электроном, т.е. занято дыркой, составит

. (3.8)

Плотность заполненных состояний в зонах меняется с энергией для двух важных предельных случаев.

1. Электронный газ в зоне проводимости вырожден, когда электронов проводимости много, а температура достаточно низка. В этих условиях при вычислении полной концентрации электронов в выражении для функции распределения следует положить и все электропроводящие свойства определяться изменяющимся числом заполненных состояний ниже уровня Ферми.

2. Электронный газ является невырожденным, или классическим, когда полная концентрация электронов настолько мала (или температура так велика), что в распределении можно считать . Тогда распределение Ферми-Дирака переходит в распределение Больцмана

. (3.9)

Это позволяет при описании поведения электронов и дырок использовать классические подходы.

Таким образом, в невырожденном донорном полупроводнике уровень Ферми лежит в запрещенной зоне ниже дна зоны проводимости по крайней мере на ( . Соответственно, акцепторный полупроводник невырожден, если выполняется условие , т.е. если уровень Ферми лежит в запрещенной зоне выше потолка валентной зоны не менее чем на .

2. Концентрация электронов и дырок в зонах

Свободные носители заряда, возникающие в результате теплового возбуждения и находящиеся с решеткой в состоянии термодинамического равновесия, называют равновесными или тепловыми.

Равновесная концентрация электронов в с-зоне может быть найдена следующим образом

, (3.10)

где - плотность электронных состояний, определяемая выражением (3.4).

При значениях энергии выше уровня Ферми функция быстро спадает до нуля. Поэтому, учитывая спиновый множитель 2 и найденный вид функции , имеем

. (3.11)

Введем безразмерные величины

; , (3.12)

где и - энергия Ферми, отсчитанная от дна зоны проводимости (приведенный уровень Ферми) и приведенные в единицах энергия электрона в зоне проводимости.

С учетом произведенных замен выражение (3.12) преобразуется к виду

, (3.13)

где - эффективная плотность состояний в с-зоне; - интеграл Ферми-Дирака порядка 1/2.

Для невырожденного электронного газа (при или )

. (3.14)

Тогда для концентрации электронов в невырожденном собственном полупроводнике имеем

. (3.15)

Формула (3.15) имеет ясный физический смысл: экспоненциальный множитель соответствует функции распределения по состояниям Максвелла-Больцмана, взятой в точке , тогда величина представляет собой эффективное число состояний в зоне проводимости, приведенной к ее дну, т е. к уровню . Формула (3.15) обозначает, что для невырожденного полупроводника концентрация подвижных электронов получается такой же, как если бы, вместо непрерывного распределения состояний в зоне, в каждой единице объема было состояний с одинаковой энергией .

Выражение для можно представить в более удобном виде

. (3.16)

Аналогично рассуждая, для концентрации дырок в отсутствии вырождения легко получить

, (3.17)

где

(3.18)

- эффективная плотность состояний в -зоне.