2.12. Энергетические уровни локальных и

примесных состояний

Реальные твердые тела всегда содержат различного рода дефекты, нарушающие строгую периодичность решетки. Наиболее типичным видом дефектов в полупроводниках являются примеси, введение которых существенно влияет на движение электронов в кристалле, возмущая спектр энергии электрона. В этом случае задача нахождения волновых функций и энергии электрона ана­логична решению одноэлектронного уравнения Шредингера с некоторым возмущением , локализованным в небольшой области с центром в точке .

. (2.84)

Это уравнение решают обычными методами теории возмущения с использованием для волновой функции так называемых функций Ванье

, (2.85)

где - функция Ванье, характерной особенностью которой является отличие от нуля только в небольшой окрестности точки внутри малой области локализации возмущения .

Р

Рис. 2.13. Возникновение в запрещенной зоне разрешенных состояний энергии при наложении на кристалл локального возмущения.

ешение этой задачи при­водит к следующему резуль­тату: при наложении на кри­сталл возмущения , один из уровней энергии, соответст­вующий краю разрешенной энергетической зоны, отепля­ется и при спускается вниз, а при поднимается вверх (рис. 2.13). Следова­тельно, энергетический уро­вень попадает в запрещенную зону. Поэтому, любое наруше­ние периодичности структуры кристалла приводит к появлению в зоне разрешенных состояний локальный уровней .

Для решения уравнения (2.84) с учетом конкретного вида возмущения применяют так называемый метод эффективной массы. Действительно, пользуясь эффективной массой электрона m* уравнение (2.84) можно переписать в форме

. (2.86)

В этом уравнении отсут­ствует периодический потен­циал, а эффективная масса m* может быть определена экспе­риментально.

В качестве примера рас­смотрим уровни донорных и акцепторных примесных ато­мов. Теория показывает, что для таких уровней справедливо описание поведения электро­нов примеси с помощью водородоподобной модели по аналогии с моделью Бора для атома водорода.

Действительно, при введении атомов сурьмы, имеющих пять валентных электронов, в кремний четыре валентных электрона сурьмы могут участвовать в ковалентной связи атомов кремния, а пятый электрон, не входящий в эту связь, будет меньше связан с ионом сурьмы. Вследствие этого электрон, не участвующий в образовании ковалентной связи, можно считать почти свободным. Поэтому он движется по орбите большего радиуса и его поведение подобно поведению электрона в атоме водорода. Считая взаимодействие «примесного» электрона со своим ионом кулоновским, и используя метод эффективной массы, можно записать уравнение Шредингера для локального примесного состояния в виде

. (2.87)

Таким образом, эквивалентное уравнение Шредингера совпадает с уравнением для атома водорода, за исключением того, что вместо массы электрона стоит m* и заряд заменяется на , где - диэлектрическая проницаемость кристалла, – квантовое число.

По аналогии с решением уравнения Шредингера для атома водорода, имеем для энергии электрона примесного атома

, (2.88)

где

(2.89)

есть энергия основного состояния (n = 1) атома донорной примеси. Если выразить энергию ионизации в электрон-вольтах, то

, (2.90)

где 13,52 соответствует значению энергии ионизации атома водорода в электрон-вольтах.

Эти состояния расположены ниже зоны проводимости. Эти энергии незначительны. Оценка энергии ионизации сурьмы в кремнии дает значение ~0,04 эВ. Таким образом, достаточно незначительной энергии, чтобы перевести электрон из связанного состояния в свободное.

Аналогичные результаты можно получить, если рассмотреть поведение акцепторной примеси, например, атомов бора в кристалле германия. Одна из четырех валентных связей, направленных к бору, остается ненасыщенной. Однако, фактическое положение отсутствующей связи может перемещаться из одного межатомного положения в другое, находясь только под действием кулоновского притяжения центрального отрицательного заряда. Наиболее просто такую ситуацию можно описать с помощью связанной дырки. Атом бора может захватить на незавершенную связь электрон основного вещества и превратиться в отрицательный ион. Дырка при этом становаится свободной.

Для энергии ионизации акцепторной примеси аналогичным образом можно поучить, в эВ

. (2.91)

Таким образом, уровни примесных атомов лежат в запрещенной зоне: уровень энергии донорной примеси ниже дна зоны проводимости, а уровень энергии акцепторной примеси выше потолка валентной зоны.