2.8. Движение электронов в кристалле под

действием внешнего электрического поля

Рассмотрим в периодическом твердом теле электрон, который находится под действием постоянного внешнего электрического поля , направленном по оси x. Сила, действующая на электрон, равна . Будем считать, что эта сила недостаточна для вызова перехода электрона из одной энергетической зоны в другую.

Потенциальная энергия электрона в поле равна

, (2.62)

т.е. определяется его координатой.

Уравнение Шредингера для этого случая запишется в виде

. (2.63)

Для упрощения задачи нахождения собственных значений энергии из (2.63) примем, что потенциал внешнего поля мало изменяется с изменением r порядка межатомных расстояний, так что в области каждого атома можно считать . В этом слуае уравнение (2.63) перепишется в виде

, (2.64)

где Е – энергия электрона в отсутствие внешнего электрического поля.

Тогда полная энергия электрона с учетом (2.39) и (2.62) будет равна

. (2.65)

О

Рис. 2.9. Наклон энергетических зон во внешнем электрическом поле.

тсюда следует, что если задавать все возможные значения энергии , то получим график зависимости положения энергетических зон от координат (см. рис.2.9).

Этот график можно интерпретировать как наклон энергетических зон под действием внешнего электрического поля. При этом ширина зоны для каждого значения осталась прежней, т.е. 12 А.

Как видно из рисунка, во внешнем поле электрон при движении по кристаллу переходит с одного уровня энергетической зоны на другие уровни, изменяя волновой вектор и квазиимпульс . При этом энергия электрона меняется от минимального до максимального значения. Если в отсутствие поля электрон может перемещаться вдоль кристалла на любое расстояние, имея постоянные значения и , то теперь движение электрона ограничено шириной энергетической зоны. Действительно,

. (2.66)

Таким образом, во внешнем электрическом поле зоны энергии идеального кристалла наклоняются. При этом уровни энергии поднимаются, если , и опускаются, если .

Рассмотрим закон, описывающий движение электрона в кристалле при наличии внешнего поля . Движение электрона в кристалле описывается волновой функцией Блоха, которая определяется набором атомных волновых функций с разными значениями . Эти функции не локализованы, а простираются по всему кристаллу. Поэтому, чтобы описать движение электрона как частицы, мы должны сконструировать волновой пакет с центром, соответствующим данному , и исследовать его поведение под влиянием приложенных внешних полей. Такой волновой пакет перемещается с групповой скоростью

, (2.67)

где мы воспользовались соотношением для энергии .

Таким образом, средняя скорость движения электрона в кристалле определяется производной энергии по квазиимпульсу.

Выясним, как изменяется скорость электрона в электрическом поле. Представим себе, что электрон, находящийся в пустой зоне, не испытывает рассеяния, так что во внешнем поле он может свободно перемещаться из одного энергетического состояния в другое. Предположим далее, что решетка одномерна и периодический потенциал таков, что зависимость энергии электрона от волнового вектора имеет такой вид, что энергия электрона минимальна в центре зоны ( ) и максимальна (E = E₂) на границах зоны Бриллюэна. Зависимость для промежуточных энергий изоб

Рис. 2.10. Зависимость энергии и скорости электрона от волнового вектора в одномерном кристалле.

ражена на рис. 2.10.

У дна энергетической зоны

, (2.68)

а соответствующая скорость , (2.69)

т.е. меняется линейно с изменением . Однако достигает максимального значения при некоторой энергии вблизи середины зоны.

Для более высоких энергий электроны движутся менее быстро. Поскольку вблизи потолка зоны

, (2.70)

откуда

. (2.71)

Электрон в состоянии, расположенном на краю зоны , оказывается неподвижным в соответствии с обсуждением дифракции Брэгга и стоячих волн для состояний на краю зоны в модели слабой связи.

В отсутствии внешнего поля средняя скорость движения электрона в кристалле по всей энергетической зоне равна нулю. При этом электрон описывается одной точкой в зоне Бриллюэна и может двигаться прямолинейно и с постоянной скоростью сколько угодно долго.

При приложении внешнего поля скорость изменения энергии электрона определяется выражением

, (2.72)

где . С учетом определения (2.67) для скорости электрона получим

. (2.73)

Это есть уравнение движения электрона в кристалле под действием внешней силы . Отсюда следует, что в кристалле равно внешней силе, действующей на электрон, под влиянием которой будет перемещаться подобно свободной частице.

Под действием постоянной силы волновой вектор будет непрерывно увеличиваться с течением времени. Когда , возрастая, достигает границы зоны, волновой вектор испытает «переброс» на противоположную границу. Такое движение будет происходить вновь и вновь, не приведя к какому либо результирующему ускорению.

Что произойдет при дальнейшем увеличении поля? Если поле очень велико, существует вероятность того, что электрон может осуществить переход через запрещенную зону в состояние с в следующей, более высокой энергетической зоне. Зиннер показал, что вероятность туннелирования через энергетическую щель изменяется с электрическим полем примерно как . Для =1эВ и а=1Å эта вероятность пренебрежимо мала для поля , меньшего 10⁷ В/м.

В заключении отметим, что обоснование уравнения (2.73) не просто. По виду оно напоминает второй закон Ньютона, но не является им, так как - не импульс, а квазиимпульс и - не полная сила, а только внешняя сила. Уравнения (2.67) и (2.73) часто называют полуклассическими, так как они не являются классическими уравнениями движения, но похожи на них.