2.6. Число состояний электронов
в энергетической зоне
Для того чтобы подсчитать число допустимых значений в зоне Бриллюэна, т.е. число состояний в энергетической зоне, воспользуемся условием цикличности Борна-Кармана. Обоснованием этого условия является периодичность свойств электрона в кристалле.
Рассмотрим
кубическую решетку с параметром а.
Для кристалла в форме параллелепипеда
со сторонами
,
,
циклические граничные условия
Борна-Кармана для волновой функции
имеют вид
.
(2.44)
Учитывая вид волновой функции электрона в форме функции Блоха, мы можем получить
(2.45)
Для выполнения условия (2.45) необходимо, чтобы
,
(2.46)
а это в свою очередь означает, что
.
(2.47)
Равенство (2.47) выполняется, если
;
;
,
(2.48)
где , , - произвольные целые числа.
Отсюда
следует, что компоненты волнового
вектора
изменяются не непрерывно, а дискретно.
Вследствие этого оказывается квантованной
и энергия электрона
в разрешенной
зоне.
Перепишем (2.48) в виде
,
(2.49)
так
как для кубической решетки
.
Учитывая,
что состояния с волновыми векторами
и
эквивалентны, нет необходимости
рассматривать бесконечный ряд значений
.
Достаточно ограничиваться условием
,
.
(2.50)
Из
(2.50) следует, что число возможных состояний
определяется числом атомов
.
Выбирая симметричный относительно
интервал изменения значений волнового
вектора, для компонентов
можем записать
, , , (2.51)
где
,
,
принимают соответственно
,
,
различных значений. Отметим, что
полученный интервал значений волнового
вектора совпадает с интервалом значений
для первой зоны Бриллюэна (2.43).
В
разрешенной энергетической зоне,
соответствующей зоне Бриллюэна, имеется
всего
различных энергетических состояний,
равных числу элементарных ячеек в
кристалле. На каждом энергетическом
уровне зоны в соответствии с принципом
Паули может находиться не более двух
электронов с противоположно направленными
спинами. Следовательно, с учетом кратности
вырождения g,
энергетическая зона может содержать
электронов.
2.7. Квазиимпульс
Как
показано в разделе 1.1, поведение свободного
электрона описывается плоской волновой
де Бройля, его импульс связан с волновым
вектором соотношением
,
а закон дисперсии имеет квадратичный
вид
.
Если на свободный электрон не действуют внешние силы, то его энергия не изменяется и, следовательно, не меняется и остается постоянным импульс . Это и приводит к известным законам сохранения энергии и импульса.
В квантовой механике условием сохранения неизменности во времени какой-либо физической величины является коммутация оператора этой величины с оператором Гамильтона
.
(2.52) Величину L
в таком случае называют интегралом
движения.
На
электрон, движущийся в кристалле,
действует периодическое потенциальное
поле решетки. Значит, под действием
этого поля изменяются во времени энергия
и импульс электрона Действительно,
оператор импульса
не коммутирует с оператором Гамильтона
для электрона в кристалле
:
.
(2.53)
Для электрона, движущегося в периодическом поле кристалла, можно ввести характеристику, аналогичную импульсу, но сохраняющуюся во времени
. (2.54) Величину
называют квазиимпульсом. В
соответствии с дискретным спектром
квазиимпульс
также должен принимать ряд дискретных
значений. Для нее согласно определению
(2.55)
и,
следовательно, собственные функции
операторов
и
должны быть общими, а между их собственными
значениями должна быть взаимосвязь
.
(2.56)
Классический закон изменения и сохранения энергии имеет вид
,
(2.57)
где
- приложенная сила,
- скорость электрона с учетом замены
на
.
Теперь выражение (2.57) перепишется в виде
.
(2.58)
Учитывая выражения для скорости электрона и (2.58), можно получить закон изменения квазиимпульса во времени
.
(2.59)
Как следует из определения квазиимпульса (2.54), при отсутствии внешних сил для идеального кристалла
и
,
(2.60)
в т о время, как по формуле (2.53)
,
(2.61)
т.е.
изменение импульса определяется
внутренними силами. Однако если на
кристалл наложить внешнее поле, не
обладающее периодичностью потенциала
кристаллической решетки, то согласно
(2.59) изменение квазиимпульса во времени
будет определяться внешней силой
.