14) . Идеализированные цепи переменного тока
Цепь с активным сопротивлением R (рис. 1.13).
а б
в
Рис. 1.13. Электрическая цепь с R (а), ее векторная диаграмма (б) и графики (в) мгновенных значений (––– i; – · – p; ······· u)
Пусть u =Um sin(ω t) , тогда
u Um sin(ω )t
i
= = =
Im
sin(ω
).t
R R
В цепи с R ток и напряжение совпадают по фазе.
Um U
Закон Ома для цепи с R: Im = ; I = .
R R
Пусть р = i · u – мгновенная мощность, тогда
p = iu = Im sin(ω )t Um sin(ω )t = I Um m (1− cos(2ω ))t =
2
= IU(1− cos2ωt);
Pср
=
p
t = −
))dt t =
IU;
p > 0 означает, что электрическая энергия все время потреб-
ляется приемником.
Цепь с индуктивностью L (рис. 1.14).
Рис. 1.14. Электрическая цепь с L (а), ее векторная диаграмма (б) и графики (в) мгновенных значений (–––– i; – · – p; ········· u)
ЭДС самоиндукции
di e = −L .
dt
Пусть i = Im sin(ω t), тогда
di d(Im sinωt)
e = – u; u = L = L = dt dt
= L Iω m cosωt = ImωLsin(ω πt + 2) = Um sin(ω πt + 2) .
В цепи с L ток отстает по фазе от
напряжения на
.
Um = ImωL ⇒ Im = Um . ωL
З
акон
Ома для цепи с L:
U U
I = ω L = X L , где XL – индуктивное сопротивление (рис. 1.15).
p = iu = Im sin(ω )t Um cos(ω )t =
Рис. 1.15. К понятию XL = IUsin(2ω );t
Pср 
p
t .е. цепь с индуктивностью активной
мощности не потребляет.
В цепи с индуктивностью в первую четверть периода электрическая энергия потребляется и запасается в виде энергии магнитного поля, во вторую четверть периода энергия отдается обратно в цепь и т.д., при этом Pср = 0.
Цепь с емкостью С (рис. 1.16).
Рис. 1.16. Электрическая цепь с C (а), ее векторная диаграмма (б) и графики (в) мгновенных значений (–––– u; – · – p; ········· i)
Пусть u =Um sin(ω )t ;
du π π i = C ; i =U Cm ωsin(ω t + ) = Im sin(ω t + ). dt 2 2
В цепи с емкостью напряжение отстает
от тока по фазе на
.
Im =U Cm ω .
З
акон
Ома для цепи с C:
U U
I = = , где XC – ёмкост-
1 ωC XC
ное сопротивление (рис. 1.17).
p =iu = Im cos(ω )t Um sin(ω )t =
= IU sin(2ω );t
Рис. 1.17. К понятию XC
1 T
Рср = ∫ p td = 0.
T 0
Происходит колебательный обмен энергии между источником и приемником. При этом Рср = 0.
1.6.6. Цепь с последовательным соединением R, L, C (рис. 1.18)
I
а б в
Рис. 1.18. Цепь с последовательным соединением R, L, C (а) и векторные диаграммы: б – цепь носит активно-индуктивный характер; в – цепь носит активно-емкостный характер
U R +U L +U C − =U 0 ; U =UR +UL +UC .
В зависимости от соотношения UL и UC (XL и XC) цепь может носить активно-индуктивный, активно-емкостный или чисто активный характер. Последний случай рассмотрим отдельно. Из векторной диаграммы следует
Закон Ома для цепи с R, , L C :
U U
I = = ,
R2
+ (XL
− XC)2 Z
здесь Z – полное сопротивление.
15) Треугольники напряжений, сопротивлений и мощностей Из векторной диаграммы цепи с последовательным соединением R − −L C имеем треугольник напряжений:
UR =U cosφ ,
U X = UL − UC U X =U sinφ ,
где cosϕ – коэффициент мощ-
UR ности, cosφ = U R .
U
Согласно закону Ома U = IZ ; UR = IR ; U X = I X( L − XC ). Делим каждую сторону треугольника напряжений на ток и получаем треугольник сопротивлений:
Z = R2 + X 2 ; R = Z cosφ; X = X L − X C R
cosφ = ; X = Z sinφ.
R Z
Умножаем каждую сторону треугольника напряжений на ток и получаем треугольник мощностей:
2 2
Q
=
Q
L −
Q
X S
=
P +Q
; P
=
S
cosφ
;
Q = IU X cosφ = P ; Q = Ssinφ , P = IU R
S
здесь P – активная мощность (Вт); S – полная мощность, вырабатываемая источником (ВА); Q – реактивная мощность (Вар).
Коэффициент мощности cosφ показывает, насколько эффективно и рационально используется энергия. Р характеризует ту часть энергетического процесса, в которой электрическая энергия потребляется приемником и преобразуется в другие виды энергии, т.е. в полезные дела. Q характеризует ту часть энергетического процесса, которая связана с изменением энергии электрического поля емкости или магнитного поля индуктивности. Реактивная мощность не совершает полезной работы, так как электрическая энергия не преобразуется в другие виды энергии.