6-й блок.

15. Уравнение неразрывности движения капельных и газообразных жидкостей, его практическое значение.

Основным условием, которое должно соблюдаться при течении жидкости или газа, является непрерывность изменения параметров потока в зависимости от координат и времени, т.е. условие сплошности. Это значит, что жидкость или газ должны двигаться в соответствующих каналах как сплошная среда без разрывов.

Условие неразрывности или сплошности для элементарной струйки имеет вид

Это уравнение распространяется и на поток с конечным поперечным живым сечением, который представляет собой совокупность бесконечного множества элементарных струек

U - скорость элементарной струйки.

Заменим U на среднюю скорость V.

Отсюда следует, что при условии неразрывности расход вдоль потока есть величина постоянная. Если

или

то есть отношение средних скоростей в различных сечениях потока обратно. пропорционально площади живых сечений, вдоль трубки тока масса жидкости остается постоянной.

т. е. для сжимаемых жидкостей vw=const.

Если выразить скорость линий тока через её проекции на координатные оси, то уравнение неразрывности будет иметь вид

Если течение, установившееся, то условие сохранения сплошности течения можно представить следующим образом:

Когда жидкость, кроме того, еще и несжимаемая, то =const и тогда

16. Уравнение Бернулли для потока вязкой жидкости. Его геометрический и энергетический смысл.

Решение уравнений движения Эйлера для установившегося потока приводит к одному из наиболее важных и широко используемых уравнений гидродинамики - уравнению Бернулли.

Уравнение Бернулли для идеальной жидкости:

Для двух поперечных сечений 1 u 2 потока имеем

величину называют полным гидродинамическим напором или просто – гидродинамическим напором H.

Формулировка уравнения Бернулли: для всех поперечных сечений установившегося потока идеальной жидкости гидродинамический напор остается неизменным.

Гидродинамический напор включает следующие слагаемые: Z - нивелирная высота, называемая геометрическим или высотным напором (м), представляет собой удельную потенциальную энергию положения в данной точке; P/g - напор давления или пьезометрический напор, характеризует удельную потенциальную энергию давления в данной точке. Сумма (Z+P/g), называемая гидростатическим или просто - статическим напором (hсm), выражает полную удельную потенциальную энергию в данной точке. Величины Z и P/g могут быть выражены как в единицах длины, так и в единицах удельной энергии, то есть энергии, приходящейся на единицу веса жидкости. Величину U²/2g называют скоростным или динамическим напором hск. Скоростной напор характеризует удельную кинетическую энергию в данной точке (сечении).

Таким образом, согласно уравнению Бернулли, при установившемся движении идеальной жидкости сумма скоростного и статического напоров, равная гидродинамическому напору, не меняется при переходе от одного поперечного сечения потока к другому.

Вместе с тем из уравнения Бернулли в соответствии с энергетическим смыслом его членов следует, что при установившемся движении идеальной жидкости сумма потенциальной (Z+P/g) и кинетической (U²/2g) энергии жидкости для каждого из поперечных сечений потока остается неизменной.

При изменении поперечного сечения трубопроводов и, соответственно, скорости движения жидкости происходит превращение энергии: при сужении трубопровода часть потенциальной энергии давления переходит в кинетическую и наоборот, при расширении трубопровода часть кинетической энергии переходит в потенциальную, но oбщee количество энергии остается постоянным. Отсюда следует, что для идеальной жидкости количество энергии, поступающей с потоков через начальное сечение трубопровода равно количеству энергии удаляющейся с потоком через конечное сечение трубопровода. Таким образов, уравнение Бернулли является частным случаем закона сохранения энергии и выражает энергетический баланс потока.

Проиллюстрируем применение уравнения Бернулли на примере потока идеальной жидкости, движущейся через произвольно расположенный в пространстве трубопровод переменного сечения.

Пусть для точек, лежащих на оси трубопровода в поперечных сечениях I-I и 2-2, нивелирные высоты равны Z1 и Z2 соответственно. Установим в каждой из этих точек две вертикальные пьезометрические трубки, у одной из которых нижний конец загнут навстречу потоку жидкости в трубопроводе.

В прямых вертикальных трубках (с незагнутыми нижними, концами) жидкость поднимается на высоту, отвечающую гидростатическому давлению в точках их погружения, то есть эти трубки будут измерять пьезометрические напоры в соответствующих точках.

.

Рис. Геометрическая интерпретация уравнения Бернулли для потока невязкой жидкости

В трубках с нижними концами, направленными навстречу потоку, уровень жидкости будет выше, чем в соседних трубках, так как трубки с загнутыми концами будут показывать сумму пьезометрического и динамического (скоростного) напоров. Однако согласно уравнению Бернулли, во все.х трубках с загнутом нижними концами жидкость поднимается на одну и ту же высоту относительно произвольной горизонтальной плоскости сравнения, равную гидродинамическому напору Н.

Площадь поперечного сечения 2-2 трубопровода меньше сечения 1-1. Поэтому скорость жидкости U2 при данном ее расходе, согласно уравнению неразрывности потока, будет больше U1.

В любом поперечном сечении трубопровода скоростной напор можно измерить по разности показаний установленных здесь трубок (с загнутыми и прямыми нижними концами). Следовательно, эта разность должна быть больше для сечения 2-2, чем для сечения I-I.

Вместе с тем из уравнения Бернулли следует, что высота уровня жидкости в прямой трубке в сечении 2-2 должна быть меньше соответствующей высоты в прямой трубке сечения 1-1 на столько же, на сколько скоростной напор в сечении 2-2 больше, чем в сечении 1-1.

Приведенный пример демонстрирует взаимный переход потенциальной энергии в кинетическую при изменении площади сечения трубопровода, а также постоянство этих энергий в любом поперечном сечении трубопровода, соответственно

При движении реальных жидкостей начинают действовать силы внутреннего трения, обусловленные вязкостью жидкости и режимом её движения, а также силы трения о стенки трубы. Эти силы оказывают сопротивление движению жидкости. На преодоление возникающего гидравлического сопротивления должна расходоваться некоторая часть энергии потока. Поэтому oбщee количество энергии потоке по длине трубопровода будет непрерывно уменьшаться вследствие перехода потенциальной энергии в потерянную энергию, затрачиваемую на трение и безвозвратно теряемую при рассеивании тепла в окружающую среду.

При движении реальной жидкости высоты её подъема (относительно плоскости сравнения) в трубках с концами, обращенными навстречу потоку, уже не будут равны в сечениях I-I и 2-2, как для идеальной жидкости. Разность высот в этих трубках, обусловленная потерями энергии не пути жидкости от сечений I-I и 2-2, характеризует потерянный напор hп.

Для соблюдения баланса энергии, при движении реальной жидкости, в правую часть уравнения Бернулли должен быть введен член, выражающий потерянный напор. Тогда уравнение .Бернулли для элементарной струйки реальной жидкости будет иметь вид

Потерянный напор hп характеризует удельную (то есть отнесенную к единице веса жидкости) энергию, расходуемую на преодоление гидравлического сопротивления при движении реальной жидкости.

После умножения, членов уравнения, на g, имеем

где - потери давления.

Определение потери напора или давления необходимо при расчетах энергии, затраченной на перемещение реальных жидкостей при помощи насосов, компрессоров и т.д.

В практических расчетах уравнение Бернулли для струйки реальной жидкости распространяют на целый поток реальной жидкости, состоящий из множества струек. При этом учитывают, что поток реальной жидкости ограниченный стенками имеет неравномерное распределение скоростей по сечению и потери энергии (напора) вдоль потока.

Неравномерность распределения скоростей по сечению движущейся вязкой жидкости объясняется торможением потока вдоль стенок из – за действия сил молекулярного сцепления между жидкостью и стенкой. Использование для расчета удельной кинетической энергии средней по сечению скорости приводит к ошибке, которая .может быть скорректирована введением поправочного коэффициента  (коэффициента Кориолиса).

С учетом вышеизложенного уравнение Бернулли для потока реальной жидкости примет вид

где hп - суммарные потери напора на участке 1-2.

После умножения членов уравнения на g имеем

или

где - потери удельной энергии отнесенные к единице массы потока на преодоление сопротивлений на рассматриваемом участке.

Эти уравнения называются уравнением баланса удельных энергий реального потока с учетом потерь. Все члены уравнения имеют тот же геометрический и энергетический смысл, что и уравнение Бернулли для элементарной струйки реальной жидкости, из последнего уравнения следует, что удельная энергия Eп затраченная на преодоление сил трения, равна изменению полной удельной энергии потока на том же участке (рис.).

Рис. Графическое представление уравнения Бернулли для реального потока.

Согласно уравнению Бернулли имеем:

Коэффициент Кориолиса  (или коэффициент кинетической энергии) представляет собой отношение действительной удельной кинетической энергии потока к энергии, подсчитанной по средней скорости

Уравнение Бернулли для газов в дифференциальной форме имеет вид

Для газов, обладающих вязкостью, необходимо учитывать потери энергии на сопротивления, поэтому для элементарной струйки имеем

Интегрируя это выражение для элементарной струйки получим

Из уравнения политропы

тогда уравнение Бернулли имеет вид

Так как уравнение состояния газов

то

При адиабатическом процессе n=k,. поэтому

При изотермическом процессе

Рассмотрим неустановившийся поток жидкости в канале, ограниченном неподвижными стенками. Выберем два сечения.

Рис. Течение жидкости в трубке тока в момент времени t.

Для фиксированного момента времени для двух сечений можно эаписать.

Сумма, представляющая механическую энергию в первом сечении, изменяется во времени. Поэтому и сумма вдоль канала тоже будет функцией времени.

Изменение механической энергии потока между первым и вторым произвольным сечением в данный момент

Значение интеграла представляет собой затрату механической энергии на преодоление инерции единицы массы жидкости находящейся между выбранными сечениями потока в данный интервал времени.

При течении вязкой жидкости разность значений механической энергии в рассматриваемых сечениях потока должна еще увеличиться и за счет гидравлических потерь.

Таким образом, при неустановившемся течении в трубе между двумя выбранными сечениями уравнение Бернулли будет иметь вид

Это уравнение сохранения механической энергии, отнесенной к единице массы жидкости для неустановившегося течения.

Если механическую энергию отнести к единице веса жидкости, то оно приобретает следующий вед:

.