Зв’язок частотної характеристики з передаточною функцією.
Оскільки між перетворенням Фур’є та
z- перетворенням існує
однозначний зв’язок, то маючи передаточну
функцію автоматично отримати частотну
характеристику, шляхом підстановки
:
.
Важливим є те, що частотна характеристика як і функція передачі залежить виключно від внутрішніх параметрів ЛДС і не залежиться від впливу та від відгуку.
Співвідношення вхід/вихід в z- області визначається , тому в частотній області після відповідної підстановки маємо:
,
де:
- Фур’є – образ впливу,
- Фур’є – образ відгуку.
Тобто, частотну характеристику ЛДС можна визначити як відношення Фур’є – образів відгуку і впливу, за нульових початкових умов.
Властивості частотних характеристик.
В більшості, властивості ЧХ повторюють властивості спектрів дискретних сигналів, тому не потребують детального розгляду, а лише нагадування основних:
1. Неперервність: ЧХ, АЧХ, ФЧХ є неперервними функціями частоти.
2. Періодичність: ЧХ, АЧХ, ФЧХ є
періодичними функціями частоти з
періодом, що визначається частотою
дискретизації:
.
3. Парність АЧХ та непарність ФЧХ: якщо коефіцієнти передаточної функції – дійсні числа (а інші випадки ми не розглядаємо), то АЧХ є парною функцією, а ФЧХ – непарною функцією частоти.
АЧХ та ФЧХ розраховують і графічно
зображають лише в основному діапазоні,
або в основній смузі частот, оскільки
далі спектри дискретних сигналів –
періодично повторюються. Вона відповідає,
в залежності від обраної нормованої чи
абсолютної шкали частот таким областям:
;
;
;
.
Розрахунок ачх та фчх
В практичних застосуваннях, дуже часто виникає необхідність оцінити АЧХ та ФЧХ при мінімальних обчислювальних затратах. Для цього будують наближені графіки цих характеристик за їх значеннями в кількох точках. Такий спосіб оцінки називається експрес-аналізом. Він передбачає відомий наперед характер функції.
До особливостей АЧХ загального виду в основній смузі частот відносять:
На точки максимумів АЧХ впливають полюси ПФ
На точки мінімумів АЧХ впливають нулі АФ, що не належать одиничному колу
Точки нулів (нульових значень) АЧХ визначаються нулями ПФ, що належать одиничному колу, нулю АЧХ відповідає стрибок ФЧХ на величину π.
АЧХ буде гладкою за відсутності нулів ПФ.
Повний розрахунок АЧХ та ФЧХ ЛДС виконується зі відомою передаточною функцією. Для цього слід замінити та розкласти комплексну експоненту на дійсну і уявну частину.
Для ланки першого порядку будемо мати:
Оскільки
,
то:
.
Після розкладу експоненти та виділення дійсної та уявної частини отримуємо:
За відомими означеннями АЧХ та ФЧХ, маємо:
Для ланок другого порядку відповідні співвідношення отримуються аналогічним чином.(Додаток Г.)
Аналіз ачх за картою нулів та полюсів.
Розглянемо співвідношення між картою нулів та полюсів та характером АЧХ для ланки першого порядку:
Максимум АЧХ знаходиться на частоті
дійсного полюсу:
Дійсному полюсу на частоті
відповідає максимум АЧХ на лівій
границі основної смуги
Дійсному полюсу на частоті
відповідає максимум АЧХ на правій
границі основної смуги
Мінімум АЧХ знаходиться на частоті
дійсного нуля, що не належить
одиничному колу:
Дійсному нулю на частоті
,
що не належить одиничному колу відповідає
мінімум АЧХ на лівій границі основної
смуги
Дійсний нуль в початку координат
та нуль
,
не вважаються інформативними. В подібних
випадках АЧХ має характер гладкої
монотонної функції з екстремумами на
границях основної смуги.
Нуль АЧХ (і відповідно, стрибок ФЧХ
на
)
знаходиться на частоті
дійсного нуля, що належить
одиничному колу
Дійсному нулю на частоті
що належить одиничному колу, відповідає
нуль АЧХ і стрибок ФЧХ на
на
правій границі основної смуги.
Співвідношення полюсів та нулів визначає тип вибірковості ланки першого порядку:
Низькочастотну (НЧ) якщо максимум АЧХ знаходиться на частоті а мінімум чи нуль АЧХ - на частоті
Високочастотну (ВЧ) якщо максимум АЧХ знаходиться на частоті а мінімум чи нуль АЧХ - на частоті
.
Абсолютне значення полюсу визначає крутизну АЧХ: чим воно більше, тим більша крутизна.
Для ланки другого порядку існують такі співвідношення між картою нулів, полюсів та характером АЧХ:
Максимум АЧХ знаходиться на частоті полюсу:
Комплексно-спряженим полюсам відповідає максимум АЧХ всередині основної смуги частот
Дійсним полюсам відповідає максимум АЧХ на границях основної смуги частот.
Мінімум АЧХ знаходиться на частоті нуля, що не належить одиничному колу:
Комплексно-спряженим нулям відповідає мінімум АЧХ всередині основної смуги частот
Дійсним нулям відповідає мінімум АЧХ на границях основної смуги частот.
Дійсні нулі в початку координат та нулі , не вважаються інформативними. В подібних випадках АЧХ має має максимум всередині і мінімуми на границях основної смуги.
Нуль АЧХ (і відповідно, стрибок ФЧХ на ) знаходиться на частоті нуля, що належить одиничному колу:
Комплексно-спряженим нулям відповідає нуль АЧХ і стрибки ФЧХ на всередині основної смуги частот
Дійсним нулям відповідають нулі АЧХ і стрибки ФЧХ на границях основної смуги частот.
Співвідношення полюсів та нулів визначає тип вибірковості ланки другого порядку:
Смугову (С)
Режекторну (Р)
Низькочастотну (НЧ)
Високочастотну (ВЧ)
Абсолютне значення полюсу визначає крутизну АЧХ: чим воно більше, тим більша крутизна.