Зв’язок між функцією передачі та імпульсною характеристикою.

Зв’язок між цими характеристиками встановлюється на основі відомих z- відображень базових ланок відповідних порядків.

Для базової ланки 1-го порядку:

Для небазової ланки 1-го порядку слід використати властивість лінійності z- перетворення та теорему про затримку:

.

Врахувавши нульові початкові умови, маємо:

.

Для базової та небазової ланок другого порядку існують відповідні складніші табличні співвідношення (Додаток В).

Зв’язок між функцією передачі та різницевою схемою.

Чисельник ПФ пов’язаний з відліками вхідного сигналу різницевого рівняння:

• Затримка відліку відображається в ПФ степенем ;

• Коефіцієнт зберігається.

Знаменник ПФ пов’язаний з відліками відгуку системи та різницевого рівняння:

• Вільний член знаменника завжди дорівнює одиниці і в різницевому рівнянні відповідає відгуку системи ;

• Затримка відліку відображається в ПФ степенем ;

• Коефіцієнт змінює свій знак на протилежний.

Критерій стійкості лдс в z- області:

Для того, щоб ЛДС була стійкою необхідно і достатньо, щоб всі полюси її передаточної функції знаходились всередині одиничного кола (кола одиничного радіусу) комплексної z- площини, тобто .

Даний критерій найчастіше використовується при дослідженні ЛДС, оскільки він найзручніший у використанні, та вносить певне обмеження. Можливі ситуації, коли за безпосередньою перевіркою в часовій області система є стійкою, а за критерієм функції передачі – ні. В таких випадках вважається, що система стійка лише тоді, якщо всі її полюси знаходяться в межах одиничного кола (навіть ті, що скорочуються в процесі розв’язку рівнянь).

Опис лінійних дискретних систем в частотній області.

Опис в частотній області дозволяє визначити поняття частотної характеристики ЛДС (саме до неї висуваються вимоги при побудові реальних систем) та визначити реакцію ЛДС на гармонійне коливання та на довільний сигнал, що можна подати як лінійну комбінацію гармонійних коливань.

В частотній області основною характеристикою ЛДС є Фур’є- відображення імпульсної характеристики h(n), яке визначається за допомогою перетворення Фур’є (приведено для нормованих частоти та часу):

.

Це називається комплексною частотною характеристикою (КЧХ) або просто частотною характеристикою. За відомою КЧХ, імпульсна характеристика знаходиться за допомогою оберненого перетворення Фур’є.

Комплексну функцію можна виразити через її модуль та аргумент:

Модуль частотної характеристики називають амплітудно-частотною характеристикою (АЧХ), а аргумент – фазочастотною характеристикою (ФЧХ).

.

Якщо вхідним сигналом ЛДС є дискретне комплексне гармонійне коливання з амплітудою та фазою відповідно ; , то реакція ЛДС y(n) буде визначатися:

це випливає з формули згортки та означення ЧХ

.

Підставивши значення вхідного сигналу та ЧХ, маємо:

.

Тобто, реакція ЛДС на комплексний гармонійний сигнал є комплексний гармонійний сигнал тієї ж частоти, що й вплив з частотно-залежними амплітудою та фазою.

; .

Врахувавши цей факт, частотну характеристику ЛДС можна подати як відношення двох гармонійних сигналів – впливу та відгуку:

.

Тобто, частотною характеристикою (ЧХ) лінійної дискретної системи називається частотна залежність відношення відгуку (реакції) до дискретного гармонійного сигналу (впливу) в усталеному режимі.

Важливим є те, що для лінійних систем відношення двох функцій часу (відгук та вплив) дає функцію, що від часу не залежить.

Щодо поняття «усталений режим», то він передбачає, що ЛДС працює вже після проходження перехідних процесів, які виникають при подачі вхідного сигналу, тривають деякий час n₀ і не можуть вважатися періодичними.

Амплітудно-частотною характеристикою (АЧХ) лінійної дискретної системи називається частотна залежність відношення амплітуди відгуку (реакції) до амплітуди дискретного гармонійного сигналу (впливу) в усталеному режимі:

.

Фазочастотною характеристикою (ФЧХ) лінійної дискретної системи називається частотна залежність різниці фаз відгуку і вхідного дискретного гармонійного сигналу (впливу) в усталеному режимі:

.