«Цифрова обробка сигналів»

Тема 8. Опис лінійних дискретних систем в z - області та в частотній області Опис лінійних дискретних систем в z - області.

Як самостійний довільний сигнал, так і систему обробки сигналів можна представляти не лише в часовій області, але й у комплексній z- області. Це дозволить при описі систем перейти від різницевих рівнянь до алгебраїчних, спростити аналіз систем на стійкість та забезпечить автоматичний простий перехід до частотних характеристик систем.

В z – області основною характеристикою ЛДС є z – відображення імпульсної характеристики h(n), яке визначається за допомогою z- перетворення і називається функцією передачі (або передаточною функцією). Математичне визначення функції передачі:

.

Маючи функцію передачі, імпульсну характеристику можна знайти за допомогою оберненого z- перетворення: .

Як відомо, співвідношення вхід/вихід ЛДС в часові області можна описати різницевим рівнянням, або формулою згортки з імпульсною характеристикою.

Згортці в z- області відповідає добуток z – відображень (по аналогії до спектрів – теорема про згортку).

Тобто, якщо є: x(n) - вхідний сигнал ЛДС;

h(n) – імпульсна характеристика ЛДС

y(n)- вихідний сигнал ЛДС;

Y(z) H(z) X(z) – z – відображення відповідних сигналів.

то в z- області будемо мати:

.

Це дозволяє визначити функцію передачі як відношення:

.

Функцією передачі (transfer function) лінійної дискретної системи називається відношення z – відображення відгуку (реакції) до z – відображення вхідного впливу за нульових початкових умов.

Різницевій схемі в z – області відповідає рівняння, отримане прямою підстановкою в формулу z – перетворення, використанням властивості лінійності та зведенням подібних доданків:

.

Поділивши обидві частини цього рівняння на X(z), отримуємо функцію передачі, що не залежить ні від входу ні від відгуку, а виражена виключно через внутрішні параметри ЛДС:

.

Таким чином, в загальному випадку, функція передачі – це дробово-раціональна функція, чисельник і знаменник якої є многочленами відносно z^-1, порядку (N-1) та (M-1) з дійсними коефіцієнтами b_i та a_k , відповідно. Порядок передаточної функції становить . Як правило вважається, що порядок многочлена чисельника небільший порядку многочлена знаменника: .

ПФ першого порядку: .

ПФ другого порядку: .

Найпростіші ЛДС, що описується передаточними функціями першого та другого порядку називаються ланками першого і другого порядку.

Ланку називають базовою, якщо чисельник її передаточної функції H(z) дорівнює одиниці.

Нулями (zero) називають значення z при яких передаточна функція дорівнює нулю.

Полюсами (pole) (особливими точками) називають значення z при яких знаменник передаточної функції дорівнює нулю.

Для того щоб знайти нулі та полюси функції передачі необхідно:

• записати H(z) як дробово-раціональну функцію відносно додатних степенів z. Для цього досить знаменник та чисельник помножити на ;

• прирівняти до нуля чисельник і знаменник та розв’язати відповідні рівняння відносно z (корені цих рівнянь і будуть шуканими значеннями).

Якщо нулі та полюси функції передачі відомі, то її можна подати у виді:

,

де: - нулі функції передачі (zero)

- полюси функції передачі (pole)

- коефіцієнт підсилення системи (gain).

Якщо серед полюсів та нулів зустрічаються однакові, то їх називають кратними полюсами.

Сукупність нулів та полюсів функції передачі, графічно зображена на z- площині називається картою нулів та полюсів. Така карта – одна з найважливіших графічних характеристик ЛДС. Нулі на ній умовно позначаються , а полюси .

Серед видів функції передачі виділяють ПФ полюсного виду, в якій чисельник є многочленом нульового степеня:

Для рекурсивних ЛДС передаточна функція визначається загальною формулою, а для нерекурсивних ЛДС ПФ спрощується , оскільки знаменник дорівнює одиниці:

.