Рекурсивні та нерекурсивні лінійні дискретні системи.

ЛДС називається рекурсивною, якщо хоча б один з коефіцієнтів ( ) різницевого рівняння не дорівнює нулю. Порядок рекурсивної ЛДС дорівнює порядку різницевого рівняння, тобто .

За визначенням, відгук рекурсивної ЛДС визначається:

• поточним відліком вхідного сигналу (впливу);

• передісторією впливів (і=1,2,...,N-1);

• передісторією відгуків (k=1,2,… M-1).

ЛДС називається нерекурсивною, якщо всі коефіцієнти ( ) різницевого рівняння дорівнюють нулю. Для не рекурсивних систем, різницеві рівняння набувають виду:

Порядок такої системи становить N-1.

За визначенням, відгук нерекурсивної ЛДС визначається:

• поточним відліком вхідного сигналу (впливу);

• передісторією впливів (і=1,2,...,N-1);

Системи зі скінченою та нескінченою імпульсною характеристикою.

Розглянемо, особливості рекурсивних та нерекурсивних ЛДС.

Приклад 1. Знайти імпульсну характеристику нерекурсивної ЛДС другого порядку, задану різницевою схемою:

.

Оскільки, імпульсна характеристика – це відгук системи на одиничний імпульс, то очевидно, що якщо . Тому різницеве рівняння можна записати:

.

Використовуючи метод прямої підстановки за нульових початкових умов, отримаємо такі значення:

;

;

;

;

Очевидно, що для n>3 - відліки імпульсної характеристики будуть нульовими.

Узагальнивши отримані результати для нерекурсивних ЛДС, маємо:

• Імпульсна характеристика нерекурсивної ЛДС має скінчену тривалість(є скінченою);

• Значення відліків імпульсної характеристики нерекурсивної ЛДС відповідають коефіцієнтам різницевого рівняння:

, .

Тому нерекурсивні ЛДС називають системами зі скінченою імпульсною характеристикою (СІХ-система(рос. – «КИХ-система»))

Приклад 2. Знайти імпульсну характеристику рекурсивної ЛДС першого порядку, задану різницевою схемою:

Оскільки при , маємо: і за нульових початкових умов, отримаємо такі значення:

;

;

;

;

Тобто маємо загальну формулу: .

Узагальнивши отримані результати для рекурсивних ЛДС робимо висновок, що імпульсна характеристика рекурсивних ЛДС має нескінчену тривалість. Тому рекурсивні ЛДС називають системами з нескінченою імпульсною характеристикою (НІХ-система (рос. – «БИХ-система»)).

Властивості лінійних дискретних систем

Загальні властивості всіх стаціонарних лінійних дискретних систем:

• Адитивність (принцип суперпозиції).

• Однорідність (гомогенність).

• Інваріантність у часі (інваріантність до зсуву).

• Пам’ять.

• Стійкість.

Перші три були розглянуті раніше, тому зосередимося на двох останніх.

Пам’ять ЛДС.

Властивістю пам’яті системи є її здатність зберігати (пам’ятати) передісторію, тобто попередні відліки вхідних сигналів (впливів) при знаходженні відгуків в поточний момент часу. Довжина передісторії, тобто кількість попередніх відліків вхідних впливів, визначає глибину (довжину, тривалість,) пам’яті.

У нерекурсивних ЛДС, для визначення відгуку в певний момент часу, використовується (N-1) попередній відлік вхідного сигналу. Таким чином, нерекурсивна ЛДС володіє властивістю пам’яті, її глибина скінчена і становить (N-1).

У рекурсивних ЛДС для обчислення поточного відліку реакції використовуються попередні відліки реакції, котрі в свою чергу можна виразити через відліки вхідного впливу:

Таким чином,

• Відлік реакції y(0) залежить від поточного вхідного відліку x(0);

• Відлік реакції y(1) залежить від поточного і попереднього вхідних відліків x(1-і), і=0,1;

• Відлік реакції y(2) залежить від поточного і двох попередніх вхідних відліків x(2-і), і=0,1,2;

• Аналогічно, третій буде залежати від поточного і трьох попередніх.

З цього випливає, при обчисленні відліку реакції в поточний момент часу система пам’ятає всю передісторію впливу, а отже рекурсивна ЛДС володіє властивістю пам’яті і її довжина в загальному випадку нескінчена. Це пояснюється присутністю зворотного зв’язку у формулі різницевого рівняння для рекурсивних ЛДС, завдяки чому довільний ненульовий відлік впливу нескінченно (постійно) «циркулює» в системі. (в реальних системах він поступово затухає, проте теоретично – присутній завжди).

Стійкість ЛДС.

Система називається стійкою, якщо довільний обмежений вхідний сигнал (вплив) породжує обмежений вихідний сигнал (відгук) за довільних обмежених початкових умов.

Математично це можна описати так: якщо то , де .

Існують два критерії стійкості ЛДС. Один з них дозволяє оцінити стійкість системи за її характеристикою у часовій області, а інший по z- відображенню цієї характеристики. Розглянемо перший з них.

Отже, критерій стійкості ЛДС у часовій області базується на оцінюванні імпульсної характеристики цієї системи і формулюється так:

Лінійна дискретна система стійка тоді і тільки тоді, коли її імпульсна характеристика повністю сумована, тобто коли виконується умова абсолютної збіжності ряду :

Дана умова є необхідною і достатньою для стійкості системи. Доведення ґрунтується на обмеженості вхідного впливу і використанні формули згортки для обчислення імпульсної характеристики.

Критерій стійкості дозволяє стверджувати, що нерекурсивні ЛДС (СІХ-системи) завжди є стійкими, оскільки їх імпульсна характеристика – скінчена.

Що стосується рекурсивних лінійних систем, то вони можуть бути як стійкими, так і нестійкими, тому потребують перевірки (дослідження) на стійкість. Імпульсна характеристика стійкої рекурсивної системи завжди матиме характер затухаючої в часі функції.

Наприклад, рекурсивна система першого порядку, розглянута раніше, для якою була отримана імпульсна характеристика є стійкою або нестійкою, в залежності від значення константи а. Так, підставивши дану імпульсну характеристику у формулу ряду, маємо:

Такий ряд, як відомо, є сумою геометричної прогресії і сходиться лише при . При ряд розбігається, і ЛДС є нестійкою.