Застосування згортки для знаходження відгуку лдс.

Нагадаємо, що згортка описується виразом:

або

З точки зору ЛДС, в якості ядра згортки виступає імпульсна характеристика системи, тобто:

- відгук системи на одиничний імпульс;

- довільний вплив на систему;

- реакція системи на вхідний вплив.

Якщо тривалість вхідного сигналу, або імпульсної характеристики – безмежна, то відгук системи теж буде безмежний. Якщо ж тривалість вхідного сигналу становить N відліків, а імпульсної характеристики - M, то довжина відгуку становитиме L=N+M-1 відлік, а у формулі згортки межі підсумовування зміняться:

.

ЛДС, для якої вхід/вихід описується формулою згортки задовольняє умови фізичної реалізованості за нульових початкових умов:

Це означає, що відгук не може виникнути раніше, аніж вплив. Значення реакції в кожен момент часу залежать від поточного і попередніх значень вхідних впливів, але не залежать від наступних вхідних значень.

Лінійні рівняння згортки вирішуються методом прямої підстановки, тобто вони безпосередньо визначають алгоритм обчислення відгуку за відомим вхідним сигналом та відомою імпульсною характеристикою системи.

Застосування різницевих рівнянь для знаходження відгуку лдс.

Поряд з використанням згортки, для визначення відгуку ЛДС на заданий вхідний сигнал, використовуються лінійні різницеві рівняння, або різницеві схеми. В загальному випадку такі схеми описуються так:

де:

- коефіцієнти (дійсні константи);

- вхідний вплив та відгук (дійсні або комплексні числа);

- значення затримки для входу і відгуку, відповідно;

- довжини послідовностей, константи;

- вхідний сигнал і відгук системи, затримані на i та k відліків(періодів дискретизації), відповідно.

Коефіцієнти називають внутрішніми параметрами, або просто параметрами ЛДС.

ЛДС, для якої вхід/вихід описується різницевою схемою, задовольняє умови фізичної реалізованості за нульових початкових умов.

Різницеві рівняння, як і рівняння згортки, вирішуються методом прямої підстановки, тобто вони безпосередньо визначають алгоритм обчислення відгуку за відомим вхідним сигналом та відомими параметрами ЛДС. Такий метод є точним і не вносить жодної математичної похибки.( На відміну від аналогового випадку, при якому вхід/вихід системи описується диференційним рівнянням. А такі рівняння розв’язуються за допомогою одного з методів чисельного інтегрування, які завжди вносять математичну похибку, оскільки є наближеними.)

Якщо в якості вхідного сигналу розглянути цифровий одиничний імпульс , то отримаємо імпульсну характеристику системи.

Приклад. Знайти імпульсну характеристику системи, за заданим різницевим рівнянням:

.

Розв’язок: Оскільки, імпульсна характеристика – це відгук системи на одиничний імпульс, то очевидно, що якщо . Тому маємо такі значення:

n	вхідний сигнал	відгук системи
0		h(0) = 1+a*h(-1) = 1
1		h(1) = 0+a*h(0) = a*1 = a
2		h(2) = 0+ a*h(1)= a*a = a2
3		h(3) = 0+ a*h(2)= a*a2 = a3
4		h(2) = 0+ a*h(3)= a*a3 = a4

Таким чином, імпульсна характеристика системи буде становити:

.