«Цифрова обробка сигналів»
Тема 7. Лінійні дискретні системи (лдс) обробки сигналів
Системою обробки сигналів (далі -
системою) називається об’єкт, що здійснює
необхідне перетворення вхідного сигналу
у вихідний. При цьому вхідний сигнал
називається «впливом», вихідний –
«відгуком» або «реакцією». Взаємозв’язок
між вхідними і вихідними сигналами –
співвідношення вхід/вихід – описується
рівнянням
,
де X,Y – вектори, елементами яких є
вхідні і вихідні функції часу, а F –
оператор, що задає математичне
перетворення. Для систем з одним входом
і одним виходом, рівняння має вид
.
За визначенням, системою можна називати
як фізичний пристрій, так і математичне
перетворення F.
Дамо деякі необхідні означення.
1. Система називається лінійною, якщо для неї виконуються дві умови:
Відгук на суму вхідних сигналів дорівнює сумі відгуків на кожен з цих сигналів окремо – це властивість адитивності чи принцип суперпозиції:
Відгук на вхідний сигнал, посилений у певну кількість разів, буде посилений у ту ж кількість разів – це властивість називається однорідністю, або гомогенністю.
.
Співвідношення вхід/вихід лінійної системи описується лінійним рівнянням.
2. Система називається дискретною,
якщо вона перетворює вхідний дискретний
сигнал
у вихідний дискретний сигнал
.
Дані сигнали можуть бути як дійсними,
так і комплексними.
3. Дискретна система називається
стаціонарною, якщо її відгук інваріантний
(незалежний) початку відліку часу –
властивість інваріантності в часі.
Тобто якщо маємо відгуки
та
,
то для довільного цілого m справедлива
рівність:
Параметри стаціонарної системи незалежні від часу. В стаціонарних системах затримка вхідних сигналів на час m приводить до затримки реакції на той же час.
Тому такі системи ще називають інваріантними до зсуву. Властивості таких систем можна досліджувати в будь-які довільні моменти часу.
4. Початкові умови в дискретних системах можуть бути нульовими, або ненульовими.
Ознакою нульових початкових умов є
відсутність відгуку при відсутності
впливу, тобто
,
якщо
.
Ознакою ненульових початкових умов є
ненульовий відгук (вільні коливання)
при відсутності вхідних сигналів.
5. Дискретна система називається
такою, що може бути фізично реалізованою
(або просто фізично реалізованою), якщо
за нульових початкових умов відгук не
може виникнути раніше ніж вплив. Значення
реакції в кожен момент часу залежать
від поточного значення входу
і попередніх значень вхідних впливів
, але не залежать від наступних вхідних
значень
.
Умови фізичної реалізованості відображаю
причинно-наслідковий зв’язок відгуку
системи з її входом, або принцип
причинності, казуальності.
Лінійні системи володіють двома особливо важливими властивостями:
Постійний сигнал на вході переводиться довільною ЛДС в постійний сигнал.
При проходженні через ЛДС гармонійний сигнал не міняє частоту. Може змінитися лише амплітуда та фаза.
Опис лінійних дискретних систем в часовій області.
Основною характеристикою ЛДС в часовій області є імпульсна характеристика (ІХ).
Імпульсною характеристикою
лінійної дискретної системи називається
її відгук (реакція) на цифровий одиничний
імпульс
за нульових початкових умов.
Імпульсна характеристика дозволяє визначити реакцію системи на довільний вхідний сигнал.
Перехідною характеристикою
лінійної дискретної системи називається
її відгук на цифровий одиничний стрибок
за нульових початкових умов.
Перехідна характеристика ЛДС пов’язана з її імпульсною характеристикою таким співвідношенням:
Знаючи перехідну характеристику теж можна визначити відгук на довільних вхідний вплив.
Співвідношення вхід/вихід відображає зв’язок між вхідним і вихідним сигналами ЛДС, тобто її відгук на довільний вплив. В часовій області це співвідношення описується лінійними рівняннями двох видів:
Формулою згортки (згорткою) – якщо використовується імпульсна характеристика;
Різницевим рівнянням – якщо використовуються параметри ЛДС.