Перетворення спектру

При обробці сигналів виникає ряд задач, пов’язаних з перетворенням спектру, наприклад його зміщенням по осі частот. Такі задачі є типовими для систем багатоканального зв’язку. Особливостями перетворення спектру в даному випадку є те, що його модуль(тобто амплітудний спектр) не міняється, а лише зсувається на частотній осі.

Перенос спектра дійсного сигналу.

Нехай маємо дійсний дискретний сигнал та відомий його основний спектр , що займає смугу . Потрібно змінити вхідний сигнал так, щоб його спектр змістився на певну частоту , обрану з умови .

Ознакою дійсного сигналу є симетрія його амплітудного спектру відносно осі координат. На рисунку приведені бажані спектри - зміщені вліво і вправо на задану частоту.

Згідно властивостей спектрів, зсув реалізується множенням вхідного сигналу на комплексну дискретну експоненту - для зсуву вправо, та - для зсуву вліво. Тому, вхідний сигнал буде комплексним і міститиме дійсну і уявну складові.

Та буде мати бажаний спектр .

Інверсія спектру дійсного сигналу

Для ряду практичних задач, є цікавою операція інверсії спектру. Її мета в тому, що в основній смузі частот довільна складова спектру (тут мається на увазі нормована частота) повинна виявитися на «протилежній» частоті - (відбитися). При цьому у аргументу спектра додатково змінюється знак.

Операція інверсії спектру реалізовується за допомогою зсуву вправо на частоту . (доведення можна знайти в літературі)

Тобто, для того щоб добитися інверсії спектру, достатньо змінити знак кожного непарного відліку вхідного сигналу.

Поняття нормованої частоти

Нормованою частотою називається відношення поточної частоти до частоти дискретизації. Тобто:

Таким чином, залежно від обраної шкали частот, основна смуга відповідає областям:

дискретна косинусоїда в області нормованих частот має вид:

Зазвичай, перевага надається абсолютній лінійній частоті (f) та нормованій круговій частоті( ) .

З точки зору обробки сигналів, важливим є те, що різні сигнали мають однакові нормовані частоти.

Наприклад:

при =2Гц та =16 Гц

при =5 кГц та =40 кГц

Підставивши значення отримаємо у області нормованих частот однакові дискретні сигнали:

Вони мають однакові значення нормованих частот .

Вправи

1.

Знайти енергію одиничного імпульсу

Відповідь:

.

2.

Відомо, що спектр дійсного сигналу x(n) становить X(ω). Сформувати сигнал, спектр якого зсунуто вліво на 70 кГц.

Відповідь:

Згідно властивостей спектрів, зсув вліво реалізується множенням вхідного сигналу на комплексну дискретну експоненту , а в даному випадку . Отже, вихідний сигнал буде комплексним і міститиме дійсну і уявну складові.

Та буде мати бажаний спектр .

3.

Знайти спектр затриманого сигналу x₁=x(n-50), якщо відомо, що спектр сигналу x(n) становить X(ω).

Відповідь:

Відомо, що затримка сигналу на m відліків (тобто зсув вхідного сигналу вправо по часовій осі) приводить до множення його спектру на комплексну експоненту . Для нашого випадку , тому: .

4.

Знайти спектр сигналу x₁ , якщо відомо, що спектр сигналу x(n) становить X(ω), а сигнал x₁(n). є звуженою в 13 разів копією x(n) .

Відповідь:

Відомо, що спектр масштабованого сигналу становить , де а – коефіцієнт масштабованості. В даному випадку сигнал звужується, тобто а>0, а=13. тому:

.

5.

Знайти період спектру дискретного сигналу, якщо відомо, що крок дискретизації становить 10 мс.

Відповідь:

Період спектру дорівнює частоті дискретизації . Тому:

- для кругової частоти;

- для лінійної частоти

6.

Відомо, що середня частота сигналу становить f_ср =500 (кГц) а ширина його спектру ∆F=60 (кГц). Визначити: чи буде цей сигнал вузькосмуговим і знайти можливі діапазони частоти дискретизації.

Відповідь:

Вузькосмуговим називають сигнал, ширина спектру якого значно менша ніж його середня частота, перевіримо це для заданих параметрів: : . Отже, даний сигнал є вузькосмуговим і для знаходження можливих діапазонів частоти його дискретизації слід використовувати узагальнену теорему Котельникова:

де q - номер діапазону частот і може приймати лише цілі значення: .

Для нашого випадку:

; .

Знайдемо : .

З цього випливає, що існує вісім допустимих діапазонів вибору частоти дискретизації. Підставивши свої дані, маємо (кГц):

Знайдемо допустимі цілі значення частоти дискретизації, при якій нова середня частота спектру буде цілим, або раціональним числом, і задовольнятимуться співвідношення:

та .

Очевидно, що допустимим є лише значення з діапазону q=3, тобто нова частота дискретизації становить 400 кГц, (замість початкової 1060 кГц). При цьому відбувся зсув спектру вліво так, що нова середня частота становить 100 кГц.