Зв’язок між спектрами аналогового і дискретного сигналів.

Співвідношення між спектрами аналогового і дискретного сигналів задається так:

.

З нього випливає, що спектр дискретного сигналу (з точністю до постійного множника , тобто ) рівний сумі спектрів аналогового сигналу, зсунутих на частотній осі на всі можливі частоти, які кратні частоті дискретизації , де

Іншими словами, спектр дискретного сигналу це нескінчена сума копій спектру аналогового сигналу, зсунутих один відносно одного на частоту дискретизації.

Вплив частоти дискретизації на співвідношення між спектрами аналогового і дискретного

сигналів.

Нехай спектр аналогового сигналу обмежений граничною частотою .

Приведені графіки дозволяють зробити такі висновки:

1. якщо частота дискретизації , то в основній смузі частот , спектри аналогового і дискретного сигналів співпадають.

2. якщо частота дискретизації , то відбувається накладання спектрів , тому в основній смузі частот спектр дискретного сигналу є спотвореним спектром аналогового сигналу.

Ці твердження повністю узгоджується з теоремою Котельникова, яка, нагадаємо, полягає у тому, що аналоговий сигнал з фінітним спектром повністю визначається послідовністю своїх відліків, взятих з кроком дискретизації , де - верхня частота спектру аналогового сигналу. Реальні сигнали скінченої тривалості теоретично, мають нескінчений спектр, отже частота дискретизації і при її довільному значенні існує елайсинг. Тому, попереднє обмеження спектру здійснюється за допомогою антиелайсингового фільтру.

Наприклад, при формуванні стандартного телефонного сигналу вхідний мовний сигнал пропускається через смуговий фільтр зі смугою пропускання 0.3 – 3.4 кГц. Нижня межа обумовлена необхідністю вилучення постійної складової і пригашення гармонік промислових частот, а верхня – заданою якістю сприйняття мовного сигналу, тобто збереження повної розбірливості, тембру голосу і т.д. Мінімально допустимою частотою дискретизації буде 6.8 кГц, а в якості стандарту обрана 8 кГц.

Дискретизація вузькосмугових сигналів.

Вузькосмуговим (відносно вузькосмуговими) називають сигнал, ширина спектру якого значно менша ніж його середня частота :

.

Це завжди має місце в радіоканалах і в багатоканальних системах з частотним розділенням. Наприклад, той самий телефонний сигнал можна трактувати як вузькосмуговий, при його передачі на несучій частоті 128 кГц з використанням амплітудної модуляції. Його спектр зосереджений в області від до кГц і має ширину:

кГц,

а середня частота кГц. Очевидно, що:

.

Зауважимо, що іноді сигнал називають вузькосмуговим, якщо відношення максимальної частоти спектру до мінімальної не більше двох: , що не суперечить попередньому визначенню.

В подібних випадках частота дискретизації, вибрана безпосередньо за правилом буде надлишковою, особливо для радіосигналів, коли вона може становити сотні мегагерц, в наслідок чого обробка в реальному масштабі часу виявиться неможливою або через складність алгоритмів обробки, або внаслідок технічних можливостей сучасної елементної бази. Крім того, очевидно, що така висока частота дискретизації і не потрібна, оскільки інформація про сигнал міститься не в частоті , а в огинаючій, або фазі, які змінюються в часі повільно (при відносно низьких частотах модуляції). Тому у таких випадках використовується узагальнена теорема Котельникова:

де q - номер діапазону частот і може приймати лише цілі значення:

де - найближче ціле число, але не більше х. Тобто .

Таким чином, значення частоти дискретизації може вибиратися з ряду допустимих діапазонів. Наприклад при q=1 маємо класичну теорему Котельникова.

Відомо, що зі збільшенням номеру діапазону q частота зменшується і спектр сигналу, залишаючись незмінним, пропорційно зсувається вліво до нової основної смуги частот . Ця обставина дозволяє вибрати таку , при якій відстань між середніми частотами сусідніх копій спектру дискретного сигналу буде максимальною і становитиме . Це забезпечується лише в тому випадку коли середня частота спектру сигналу виявиться в точці .

Приклад.

Нехай маємо частотно-модульований аналоговий радіосигнал, діапазон якого становить 65-75 МГц , а середня частота спектра, відповідно 70 МГц, (ширина смуги відповідно 10 МГц). Антиелайсинговий фільтр має перехідні смуги 63-65 МГц та 75-77 МГц, відповідно. Знайти ряд допустимих діапазонів для вибору частоти дискретизації даного сигналу.

Розв’язок.

Ширина загального спектру , в якій необхідно врахувати перехідні смуги фільтру, становить =10+4=14 МГц. Очевидно, що даний сигнал є вузькосмуговим, оскільки або . Тому для знаходження частоти дискретизації використовуємо узагальнену теорему Котельникова.

Знайдемо : .

З цього випливає, що існує п’ять допустимих діапазонів вибору частоти дискретизації. Підставивши свої дані, маємо (МГц):

Два перші діапазони важко реалізувати використати на практиці внаслідок надзвичайно високої частоти дискретизації (для існуючої елементної бази). Решта діапазонів з точки зору узагальненої теореми Котельникова рівноцінні – всі вони забезпечують коректну дискретизацію заданого сигналу. Вибір конкретного значення залежить від задач подальшої обробки. Однак, відомо, що найлегшою для реалізації є така ціла частота, коли забезпечується співвідношення , а нова середня частота для номеру діапазону q повинна бути раціональним числом (скінченим десятковим дробом) . Тобто для розглянутого випадку матимемо:

При q=2 та q=5 частоти і не є цілими числами, тому не задовольняють умови, отже рівноцінно можливими є дві частоти дискретизації : 56 та 40 МГц .