Функціональні перетворення сигналів.

Під функціональними перетворенням мають на увазі такі зміни сигналу, які дозволяють подати його у іншій області дослідження, або як комбінацію простіших, елементарних, типових сигналів. Такі перетворення приводять до того, що можна легко визначити властивості та кількісні характеристики досліджуваних сигналів чи систем. Функціональні перетворення передбачають дуже широкий клас операцій, а їх виконання займає найбільше часу в реальних системах обробки сигналів.

Одним з можливих шляхів аналізу складного сигналу є подання його через контрольовану суму елементарних сигналів. При цьому спираються на теорему Вейєрштрассе, яка полягає у наступному: Якщо функція неперервно диференційована і обмежена у часі, то її можна подати у вигляді ряду:

, де .

де - ортогональна система функцій, - коефіцієнти ряду.

Важливим в аналізі сигналів та систем є можливість описати їх в різних областях. Так, аналогові і цифрові сигнали та лінійні системи можна описувати:

У часовій області:

сигнали описуються функціями часу.

лінійні системи описуються :

Характеристиками. Характеристика лінійної системи визначається як її реакція на деякий тестовий сигнал, тобто характеристика – це сигнал, що описується функцією часу.

Співвідношенням вхід/вихід. Співвідношення вхід/вихід лінійної системи описується лінійним рівнянням, яке встановлює зв’язок між вхідними і вихідними сигналами – функціями часу.

Тип функцій часу визначається типом сигналу: неперервна функція описує аналоговий сигнал, послідовність (решітчаста функція) описує дискретний сигнал.

Окрім часової, сигнали і системи можуть описуватися і в інших областях (в областях інших незалежних змінних), при цьому відповідні функції часу перетворюються у функції іншої змінної.

Традиційно сигнали і системи описують:

У області комплексної змінної

область для неперервних функцій

Для опису аналогових сигналів у області використовуються перетворення Лапласа:

область для послідовностей, тобто дискретних функцій.

Для опису дискретних сигналів у області можна використовувати дискретне перетворення Лапласа , але на практиці, переходять до z-перетворення:

Використання саме z- перетворення, а не дискретного перетворення Лапласа зумовлено простішим математичним описом: воно дозволяє отримати алгебраїчні співвідношення, а не трансцендентні.

Довідка:

Алгебраїчні - це співвідношення, які завжди можна звести до форми .

Трансцендентні співвідношення це ті, що не можуть бути подані в алгебраїчній формі. До них відносяться показникові функції(якщо аргумент або його вираз є показником), логарифмічні функції, тригонометричні функції, обернені тригонометричні функції

У частотній області.

Для опису аналогових сигналів у частотній області використовується перетворення Фур’є:

Для опису дискретних сигналів у частотній області використовується ряд Фур’є(Дискретно неперервне перетворення Фур’є):

.

Вправи

1. Сигнал x(n) відмінний від нуля на проміжку [A,B] згортається з сигналом h(n), відмінним від нуля на проміжку [C,D]. Знайти проміжок на якому може бути відмінним від нуля результуючий сигнал.

Відповідь: найлівіший відлік сигналу x(n) з координатою А перейде в результаті згортки в ядро згортки в позиції [A+С,А+D]. Най правіший відлік сигналу x(n) з координатою В перейде в результаті згортки в ядро згортки в позиції [В+С,B+D]. Отже весь результуючий сигнал займе проміжок [A+С, В+D]. Його довжина буде (В-А)+(D-А)+1, що відповідає формулі L=N+M-1.

2.Порахувати скільки множень слід виконати для обчислення згортки сигналу довжиною N з ядром довжиною М.

Відповідь: для обчислення згортки треба кожну з N точок вхідного сигналу перевести в М точок ядра і додати відповідні значення. Тобто для обчислення згортки потрібно N*M множень.

3.Знайти згортку двох сигналів, заданих послідовностями . Відобразити графічно вхідні та вихідну послідовності.

Відповідь: Згідно формули згортки: , де: L=N+M-1.

N - довжина послідовності , N=4; M- довжина послідовності , M=2; тобто L=4+2-1=5. Отже: . Підставляючи значення вхідних даних, отримуємо:

4.Знайти z-перетворення одиничного імпульсу та затриманого одиничного імпульсу.

Відповідь:

,

,

5.Знайти z-перетворення одиничного стрибка та затриманого одиничного стрибка.

Відповідь:

Це сума геометричної прогресії для . Ряд сходиться лише при |q|<1, тому маємо суму спадаючої геометричної прогресії, а вона визначається за формулою . Підставивши , маємо:

Область збіжності, відповідно .

z- перетворення затриманого одиничного стрибка, визначається по аналогії:

.

6.Знайти z-перетворення спадаючої дискретної показникової функції.

Відповідь:

Зробивши підстановку і скориставшись формулою суми геометричної прогресії, маємо:

.

Основні терміни і поняття, освоєні в Темі №3.

Згортка

Кореляція

Взаємокореляція

Автокореляція

Фільтрація

Модуляція

Несучий сигнал

Модульований сигнал

Функціональні перетворення

Теорема Веєрштрассе

Ортогональна система функцій

Область комплексної змінної

Частотна область

Перетворення Лапласа

Перетворення Фур’є

Ряд Фур’є

Дискретне перетворення Лапласа

Z-перетворення

Дискретно-неперервне перетворення Фур’є

8