"Цифрова обробка сигналів "

Тема 3. Математичний апарат опису сигналів і лінійних систем Ключові операції цифрової обробки

Обробка цифрових сигналів виконується або спеціальними процесорами, або на універсальних комп’ютерах за спеціалізованими програмами. Існують численні алгоритми ЦОС як загального типу - для сигналів у їх класичній часовій формі (телекомунікації, зв'язок, телебачення та ін.), так і спеціалізовані у всіляких галузях науки й техніки (геоінформатиці, геології й геофізиці, медицині, біології, військовій справі, та ін.). Однак всі ці алгоритми, як правило - блокового типу, тобто побудовані на як завгодно складних комбінаціях досить невеликого набору типових цифрових операцій, до основного з яких відносяться:

згортка	модуляція	функціональні перетворення
кореляція	аналогова	перетворення Лапласа
фільтрація	цифрова	z-перетворення
	імпульсна	перетворення Фур’є
		дискретне перетворення Фур’є

Для того щоб вміти описати сигнали та їх поведінку при тих чи інших впливах, а також створювати системи, що дозволяють видозмінити задані (вхідні) сигнали потрібним чином для досягнення деякої поставленої мети (наприклад усунути шуми у сигналі, стиснути сигнал без втрати важливої інформації) необхідно знати основні математичні підходи на яких базуються операції обробки сигналів, тобто математичний апарат цих операцій.

Зупинимося на розгляді дискретних варіантів операцій обробки сигналів, оскільки саме вони мають практичну цінність.

Лінійна згортка (convolution)– основна операція ЦОС, особливо в режимі реального часу. Математично, вираз згортки у вигляді суми аналогічний інтегралу згортки, що використовується в теорій лінійних аналогових систем. Проте, дискретна згортка має не лише теоретичне значення за аналогією з інтегралом згортки, а і безпосередньо застосовується при реалізації дискретних систем.

В загальному випадку, для двох послідовностей x(n) та h(n) згортка y(n) визначається виразом:

або

де: або - умовні позначення операції згортки.

Зауважимо, що називається операцією нагромаджуючого добутку.

У системах обробки сигналів перша послідовність x(n) являє собою оброблювані дані (наприклад сигнал на вході системи), а друга – h(n) , називається ядром згортки (kernel).

Всі сигнали, що обробляються на комп’ютері, мають скінчену тривалість. Тому доцільно розглядати згортку для вхідних послідовностей x(n) та h(n) довжиною N та М відліків, відповідно. Якщо сигнал x(n) відмінний від нуля лише на відрізку від 0 до N-1 (що відповідає довжині N), а ядро згортки визначено на відрізку –m₁ до +m₂ включно, тобто М= m₁ +m₂ +1, то при підстановці у формулу згортки, отримаємо сигнал y(n), який буде відмінний від нуля на відрізку від –m₁ до N–1 +m₂ , включно. Таким чином, довжина результуючого сигналу буде L=N+M-1 відлік, тобто сума довжини вхідного сигналу та ядра згортки мінус один. Тому у формулі згортки межі підсумовування зміняться:

Властивості згортки

1.  - можна переставляти місцями вхідний сигнал і ядро згортки (комутативність)

2.  - можна проводити згортку з ядром, яке є згорткою. (асоціативність) .

3.  (дистрибутивність).

Кореляція (correlation ) існує у двох формах: автокореляції й взаємної кореляції.

Взаємо-кореляційна функція (ВКФ, cross-correlation function - CCF).

Часто виникає задача виявлення одного сигналу в іншому. Наприклад, може бути відомо, що певна зовнішня подія генерує в давачі сигнал визначеної форми. Проте події можуть відбуватися майже одночасно, а сигнали від них – накладатися, перекриватися. Крім того, на виході давача може бути присутній шум, що ускладнить виявлення потрібних сигналів. Для надійного виявлення таких сигналів застосовується метод кореляційного аналізу.

Нехай давач генерує сигнал x(n) і ми прагнемо виявити в ньому послідовність g(n) деякої скінченої довжини. Для пошуку цієї послідовності обраховують скалярні добутки сигналів x(n) і g(n-k) для різних k. Тобто ми намагаємося «прикласти» шуканий сигнал у всіх можливих положеннях до сигналу давача і знайти «ступінь подібності» для кожного положення. Таким чином не виході отримуємо сигнал y(k), який показує на скільки сигнал з давача x(n) в позиції k подібний на шуканий сигнал g(n). Якщо у вхідному сигналі присутній лише шум, то значення кореляції теж буде шумом невеликої амплітуди. Але щойно у вхідному сигналі з’явиться форма, схожа на шуканий сигнал, значення кореляції в цій точці стане великим.

Формула обчислення взаємо-кореляційної функції :

Тут реальні межі підсумовування визначаються довжиною сигналу g.

Бачимо, що формула кореляції дуже подібна до формули згортки. Якщо визначити ядро згортки як , то вони співпадають. Таким чином, кореляцію можну обраховувати як згортку, взявши в якості ядра згортки, сигнал g, симетрично відбитий відносно нульового відліку.

Авто-кореляційна функція (АКФ, correlation function, CF).

Використовується для того, щоб знайти кореляцію сигналу самого з собою вона показує найбільш імовірні відрізки повторення форми сигналу (так звані скриті періодичності). АКФ є кількісною інтегральною характеристикою форми сигналу, подає інформацію про структуру сигналу і його динаміку в часі. Вона, по суті, є частковим випадком ВКФ для одного сигналу і в точці n являє собою скалярний добуток сигналу і його копії, зсунутої в часі на n відліків.

Формула обчислення авто-кореляційної функції :

АКФ має максимальне значення при n=0 (множення сигналу на самого себе), і є парною функцією B_xx(-n) = B_xx(n), тому значення АКФ для від’ємних координат зазвичай, не обраховуються.

Лінійна цифрова фільтрація є однією з операцій ЦОС, що мають першорядне значення, і визначається як:

,

де: h(n), n=0, 1, 2, ... , N - коефіцієнти фільтра, y(k) і s(k) - вхід і вихід фільтра

Фактично, лінійна цифрова фільтрація – це згортка сигналу з імпульсною характеристикою фільтра.

До основних видів фільтрації інформації відносять операції згладжування, прогнозування, диференціювання, інтегрування й розділення сигналів, а також виділення інформаційних (корисних) сигналів і придушення шумів (перешкод). Основними методами цифрової фільтрації даних є частотна селекція сигналів і оптимальна (адаптивна) фільтрація.