Функции алгебры логики

Значение формулы алгебры логики полностью зависит от значений входящих в нее высказываний. Поэтому такая формула может считаться функцией входящих в нее элементарных высказываний. Например, (x  y)   z является функцией f(x, y, z). Естественно, значения этой функции и входящих в нее элементов могут принимать значения истина или ложь. Тождественно истинные или тождественно ложные функции представляют собой константы.

Каждую функцию алгебры логики можно записать в виде формулы или представить таблицей истинности. Как уже было отмечено выше, таблица истинности для n переменных содержит 2ⁿ строк. Следовательно, каждая функция алгебры логики принимает 2ⁿ значений, состоящих из 0 или 1. Общее же число наборов значений, состоящих из 0 и 1, длины 2ⁿ равно 2²ⁿ. В частности, число различных функций от одной переменной равно четырем.

х	f1(x)	f2(x)	f3(x)	F4(x)
0	1	1	0	0
1	1	0	1	0

Из этой таблицы следует, что две функции являются константами f₁(x) = 1 и – f₂(x) = x, а остальные f₃(x) =  x и f₄(x) = 0.

Дизъюнктивная нормальная форма и совершенная дизъюнктивная нормальная форма

Элементарной конъюнкцией n переменных называется конъюнкция переменных или их отрицаний.

Дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) формулы А называется равносильная ей форму­ла, представляющая собой дизъюнкцию элементарных конъюнкций.

Для любой формулы алгебры логики путем равно­сильных преобразований можно получить ее ДНФ, при­чем не единственную.

Например, для формулы А = х  (х  y) имеем:

А = х  ( х  y) = (х   х)  (х  y) = х  y, то есть

ДНФ А = (х   х)  (х  y) и

ДНФ А = х  y.

Среди многочисленных ДНФ А существует единствен­ная ДНФ А, для которой выполняются перечисленные выше четыре свойства совершенства. Такая ДНФ А называется совершенной дизъюнктив­ной нормальной формой формулы А (СДНФ А).

Как уже указывалось, СДНФ А может быть получе­на с помощью таблицы истинности.

Другой способ получения СДНФ формулы А основан на равносильных преобразованиях формулы и состоит в следующем:

1. путем равносильных преобразований формулы А получают одну из ДНФ А.

2. если в полученной ДНФ А входящая в нее эле­ментарная конъюнкция В не содержит переменную x_i, то, используя закон B  (x_i   x_i) = B, элемен­тарную конъюнкцию B заменяют на две элементарных конъюнкции (B  x_i) и (B   x_i), каждая из которых со­держит переменную x_i.

3. если в ДНФ А входят две одинаковых элементар­ных конъюнкции В, то лишнюю можно отбросить, пользу­ясь равносильностью В  В = В.

4. если некоторая элементарная конъюнкция В, вхо­дящая в ДНФ А, содержит переменную x_i и ее отрица­ние  x_i, то, на основании закона x_i   x_i = 0, В = 0 и В, таким образом, можно исключить из ДНФ А, как нулевой член дизъюнкции.

5. если некоторая элементарная конъюнкция, вхо­дящая в ДНФ А, содержит переменную x_i дважды, то одну переменную можно отбросить, пользуясь законом x_i  x_i = x_i.

Ясно, что после выполнения описанной процедуры будет получена СДНФ А. Например, для формулы А = x  y  (x   y) ДНФ А = x  (x  y)  (y   y). Так как элементарная конъюнкция В = х, входящая в ДНФ А, не содержит переменной у, то заменим ее на две элементарных конъюнкции (x  y) и (x   y), В результате получим ДНФ А = x  y  x   y  x  y  y   y.

Так как теперь ДНФ А содержит две одинаковых элементарных конъюнкции x  y, то отбросим лишнюю. В резуль­тате получим ДНФ A = x  y  x   y  y   y.

Так как элементарная конъюнкция y   y содержит переменную у и ее отрицание, то y   y = 0, и ее можно отбросить как нулевой член дизъюнкции.

Таким образом, получаем СДНФ А = x  y  x   y.