37. Интервальное оценивание неизвестных параметров

При выборке малого объема точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра, что приводит к грубым ошибкам. Поэтому в таком случае лучше пользоваться интервальными оценками, то есть указывать интервал, в который с заданной вероятностью попадает истинное значение оцениваемого параметра. Разумеется, чем меньше длина этого интервала, тем точнее оценка параметра. Поэтому, если для оценки Θ* некоторого параметра Θ справедливо неравенство

| Θ* - Θ | < δ,

число δ > 0 характеризует точность оценки ( чем меньше δ, тем точнее оценка). Но статистические методы позволяют говорить только о том, что это неравенство выполняется с некоторой вероятностью.

Надежностью (доверительной вероятностью) оценки Θ* параметра Θ называется вероятность γ того, что выполняется неравенство | Θ* - Θ | < δ. Если заменить это неравенство двойным неравенством – δ < Θ* - Θ < δ, то получим:

p ( Θ* - δ < Θ < Θ* + δ ) = γ (37.1)

Таким образом, γ есть вероятность того, что Θ попадает в интервал (Θ* - δ, Θ* + δ).

Интервал (Θ* - δ, Θ* + δ), в который попадает неизвестный параметр с заданной надежностью γ называется доверительным.

38. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально распределённой случайной величины при известной дисперсии

Пусть исследуемая случайная величина Х распределена по нормальному закону с известным средним квадратическим σ, и требуется по значению выборочного среднего оценить ее математическое ожидание а. Будем рассматривать выборочное среднее как случайную величину а значения вариант выборки х₁, х₂,…, х_п как одинаково распределенные независимые случайные величины Х₁, Х₂,…, Х_п, каждая из которых имеет математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ. При этом

, (38.1)

(используем свойства математического ожидания и дисперсии суммы независимых случайных величин). Оценим вероятность выполнения неравенства . Применим формулу для вероятности попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал:

. (38.2)

Тогда, с учетом того, что ,

, (38.3)

где . Отсюда , и предыдущее равенство можно переписать так:

. (38.4)

Итак, значение математического ожидания а с вероятностью (надежностью) γ попадает в интервал , где значение t определяется из таблиц для функции Лапласа так, чтобы выполнялось равенство 2Ф(t) = γ.

Пример. Найдем доверительный интервал для математического ожидания нормально распределенной случайной величины, если объем выборки п = 49, σ = 1,4, а доверительная вероятность γ = 0,9.

Определим t, при котором Ф(t) = 0,9:2 = 0,45: t = 1,645. Тогда

, или 2,471 < a < 3,129.

Найден доверительный интервал, в который попадает а с надежностью 0,9.

38А. Задачи

1. Найти доверительный интервал для оценки с надёжностью 0,95 неизвестного математического ожидания нормально распределённого признака X генеральной совокупности, если генеральное среднее квадратическое отклонение σ=5, выборочная средняя x_ср=14 и объм выборки n=12.

2. Станок-автомат штампует валики. По выборке объёма n=100 вычислена выборочная средняя диаметров изготовленных валиков. Найти с надёжностью 0,95 точность, с которой выборочная средняя оценивает математическое ожидание диаметров изготовленных валиков, зная, что их среднее квадратическое отклонение σ=2 мм. Предполагается, что диаметры валиков распределены нормально.

3. Найти минимальный объём выборки, при котором с надёжнгостью 0,975 точность оценки математического ожидания генеральной совокупности по выборочной средней равна 0,3, если известно среднее квадратическое отклонение σ=1,2 нормально распределённой генеральной совокупности.

4. По данным девяти независимых равноточных измерений некоторой физической величины найдены среднее арифметическое результатов измерений x_ср=30,1 и «исправленное» среднее квадратическое отклонение S=6. оценить истинное значение измеряемой величины с помощью доверительного интервала с надёжностью =0,99. Предполагается, что результаты измерений распределены нормально.

5. Анализ доходности акций на основе случайной выборки за 16 дней показал, что средняя доходность составляет 10,37 %. Предполагая, что доходность акций подчиняется нормальному закону распределения с известной дисперсией, равной 4%, определить ширину доверительного интервала для средней доходности с надежностью 0,97.

6. Анализ доходности акций на основе случайной выборки за 25 дней показал, что средняя доходность составляет 8 %. Предполагая, что доходность акций подчиняется нормальному закону распределения с известной дисперсией, равной 5 %, определить минимальное число наблюдений, которое необходимо провести, чтобы с вероятностью 0,99 можно было утверждать, что средняя доходность заключена в интервале шириной 3%.