34. Статистические числовые характеристики случайных величин
Выборочным средним называется среднее арифметическое значений случайной величины, принимаемых в выборке:
,
(34.1)
где xi – варианты, ni - частоты.
Выборочное среднее служит для оценки математического ожидания исследуемой случайной величины.
Выборочной дисперсией называется
,
(34.2)
а выборочным средним квадратическим отклонением –
(34.3)
Так же, как в теории случайных величин, можно доказать, что справедлива следующая формула для вычисления выборочной дисперсии:
.
(34.4)
Пример 1. Найдем числовые характеристики выборки, заданной статистическим рядом
xi |
2 |
5 |
7 |
8 |
ni |
3 |
8 |
7 |
2 |
Другими характеристиками вариационного ряда являются:
- мода М0 – варианта, имеющая наибольшую частоту (в предыдущем примере М0 = 5).
- медиана те -
варианта, которая делит вариационный
ряд на две части, равные по числу вариант.
Если число вариант нечетно ( n
= 2k + 1 ), то me
= xk+1,
а при четном n =2k
.
В частности, в примере 1
Оценки начальных и центральных моментов (так называемые эмпирические моменты) определяются аналогично соответствующим теоретическим моментам:
- начальным эмпирическим моментом порядка k называется
.
(34.5)
- центральным эмпирическим моментом порядка k называется
.
(34.6)
В частности,
.
34А. Задачи
1. Построить гистограмму частот по данной выборке
2, 15, 10, 5, 7, 6, 12, 11, 7, 3, 15, 19, 13, 17, 15, 10, 11,4, 9, 12, 18. 3, 1. 10, 11, 9, 8, 9, 7, 12, выбрав четыре частотных интервала.
2. Построить гистограмму относительных частот по данной выборке
2, 15, 10, 5, 7, 6, 12, 11, 7, 3, 15, 19, 13, 17, 15, 10, 11,4, 9, 12, 18. 3, 1. 10, 11, 9, 8, 9, 7, 12, выбрав четыре частотных интервала.
3. Найти выборочное среднее по данному распределению выборки
-
xi
56
60
62
65
70
ni
2
3
10
4
1
4. Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки
-
xi
56
60
62
65
70
ni
2
3
10
4
1
5. Найти исправленную выборочную дисперсию по данному распределению выборки
-
yi
16
22
25
6
7
ni
2
3
10
4
1
6. На ферме по схеме случайного повторного отбора были отобраны 100 коров. Распределение их по дневному надою (Х, л) следующее:
Дневной надой, л |
7 |
9 |
11 |
13 |
15 |
Число коров |
3 |
8 |
52 |
30 |
7 |
Вычислить выборочные характеристики: средний надой, моду, медиану, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.