10. Повторные испытаний. Формула Бернулли
Пусть проводится серия из n испытаний, в результате каждого из которых событие А может произойти или не произойти. Предполагаем, что вероятность наступления события А в каждом испытании постоянна и равна p, т.е. не зависит ни от номера испытания, ни от результатов предыдущих испытаний.
Последовательность испытаний, удовлетворяющих указанному условию, называется
последовательностью независимых испытаний (или схемой Бернулли).
Таким образом, в схеме Бернулли для каждого испытания имеется лишь два исхода:
1) событие А, P(A) = p;
2) событие
,
.
Найдем вероятность того, что в такой серии событие А произойдет ровно к раз (неважно, в какой последовательности).
Интересующее нас событие представляет
собой сумму равновероятных несовместных
событий, заключающихся в том, что А
произошло в некоторых к
испытаниях и не произошло в остальных
п – к
испытаниях. Число таких событий равно
числу сочетаний из п
по к,
то есть
,
а вероятность каждого из них: pkqn-k.
Применяя теорему сложения для несовместных событий, получим формулу Бернулли:
.
(10.1)
Наиболее вероятное значение k0 появлений события А в n испытаниях удовлетворяет неравенствам
(10.2)
Если
целое число, то и
тоже целое (
)
и при этом наиболее вероятны два значения
и
.
Покажем справедливость
.
Для этого достаточно показать, что эти
неравенства следуют из
и
.
Действительно,
Вероятность того, что в n испытаниях событие А произойдет не менее k раз можно найти используя теорему сложения вероятностей и формулу Бернулли:
(10.3)
Количество n испытаний, которое необходимо произвести для того, чтобы с
вероятностью, не менее Р* , можно было утверждать, что событие А произойдет хотя бы один раз, определяем по формуле:
(10.3)
Пример. Вероятность отсутствие готовности автомобиля к выезду составляет 0,25. У фирмы 10 автомобилей.
а) Какова вероятность, что не менее 8 автомобилей всегда готовы к работе?
б) Каково наиболее вероятное число готовых к выезду автомобилей?
11.Приближение Пуассона для схемы Бернулли (вероятности редких событий)
Формула Бернулли требует громоздких расчетов при большом количестве испытаний. Можно получить более удобную для расчетов приближенную формулу, если при большом числе испытаний вероятность появления А в одном опыте мала, а произведение пр = λ сохраняет постоянное значение для разных серий опытов (то есть среднее число появлений события А в разных сериях испытаний остается неизменным). Применим формулу Бернулли:
Найдем предел полученного выражения
при
Таким образом, формула Пуассона
(11.1)
позволяет найти вероятность к появлений события А для массовых (п велико) и редких (р мало) событий.