4. Классическое определение вероятности.
Для некоторых идеализированных случаях вероятность события можно вычислить без проведения испытаний.
События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других в результате одного опыта.
События образуют полную группу для данного опыта, если в результате опыта обязательно произойдет хотя бы одно из событий этой группы.
Несовместные события, образующие полную группу, называют элементарными событиями.
События называются равновозможными, если нет оснований считать, что одно из них является более возможным, чем другое.
Элементарные равновозможные события называют случаями.
Если все события, которые могут произойти в результате данного опыта, являются случаями, то есть
а) несовместны;
б) равновозможны;
в) образуют полную группу,
то говорят, что имеет место схема случаев.
Исход опыта называется благоприятствующим некоторому событию, если в результате этого исхода появляется указанное событие.
Если испытание сводится к схеме случаев, то вероятностью события А в данном испытании называется отношение числа благоприятствующих этому событию случаев (m), к общему числу случаев (n):
(4.1)
- классическое определение вероятности
Пример. Из урны, содержащей 6 белых и 4 черных шара, наудачу вынут шар. Найти вероятность того, что он белый.
5. Элементы комбинаторики.
Комбинаторика – наука, изучающая комбинации, которые можно составить по определенным правилам из элементов некоторого конечного множества.
Пусть задано множество, содержащее конечное число (n) элементов. Такие множества будем называть конечными, и обозначать {a,b,c,d, . . .s}.
Перестановки – это комбинации, составленные из всех п элементов данного множества и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок:
(5.1)
Если n=3: (a,b,c), (a,c,b), (b,a,c), (b,c,a), (c,a,b), (c,b,a). Р3= 3!=6.
Пример. Сколько различных списков (отличающихся порядком фамилий) можно составить из 7 различных фамилий?
Решение. Р7 = 7! = 2·3·4·5·6·7 = 5040.
Размещения – упорядоченные комбинации из т элементов данного множества (то есть, отличающиеся либо составом элементов, либо их порядком). Число всех возможных размещений:
(5.2)
Если n=3, m=2:
(a,b), (a,c),
(b,a), (b,c),
(c,a), (c,b).
Пример. Сколько возможно различных вариантов пьедестала почета (первое, второе, третье места), если в соревнованиях принимают участие 10 человек?
Решение.
Сочетания – неупорядоченные наборы из т элементов множества (то есть наборы, отличающиеся только составом элементов, их порядок не имеет значения). Число всех возможных сочетаний:
(5.3)
Если n=3, m=2:
(a,b), (a,c),
(b,c),
Пример. В отборочных соревнованиях принимают участие 10 человек, из которых в финал выходят трое. Сколько может быть различных троек финалистов?
Решение. В отличие от предыдущего примера, здесь не важен порядок финалистов, следовательно, ищем число сочетаний из 10 по 3:
(5.4)
Размещение с повторениями по k элементов может содержать любой элемент сколько угодно раз от 1 до k включительно, или не содержать его совсем, т.е. каждое размещение с повторениями из n элементов по k элементов может состоять не только из различных элементов, но из k каких угодно и как угодно повторяющих элементов. Число размещений с повторениями вычисляется по формуле:
(5.5)
Пример. Сколько четырехзначных цифр можно составить из 9 цифр (исключая число 0)?
Сочетание с повторениями из n элементов по k элементов может содержать любой элемент сколько угодно раз от 1 до k включительно, или не содержать его совсем, т.е. каждое сочетание с повторениями из n элементов по k элементов может состоять не только из k различных элементов, но из k каких угодно и как угодно повторяющих элементов.
Следует отметить, что если, например два сочетания по k элементов отличаются друг от друга только порядком расположения элементов, то они не считаются различными
сочетаниями.
Число размещений с повторениями вычисляется по формуле:
(5.6)
Пример. Каждый шарик раскрашивают тремя красками. Сколько шариков с различным сочетанием цветов можно получить, если используется семь красок?